Determine, caso exista, o valor de:
pt)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está dentro do estudo de limites no cálculo, mais especificamente usando propriedades de logaritmos e limites. Para resolver, vamos precisar entender como o logaritmo se comporta quando o argumento se aproxima de 1 e como multiplicar por
influencia isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito na expressão dentro do logaritmo:
. Quando
fica cada vez maior,
fica cada vez menor, se aproximando de 0. Assim,
se aproxima de 1.
Passo 3
Sabemos que
pode ser aproximado por
quando
é muito pequeno (essa é a série de Taylor do logaritmo). No nosso caso,
, que está indo para 0. Então podemos aproximar:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, o valor do limite é 7.