Determine, caso exista, o valor de: (0,7 pt) lim x infty x cdot ln (1+7x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está dentro do estudo de limites no cálculo, mais especificamente usando propriedades de logaritmos e limites. Para resolver, vamos precisar entender como o logaritmo se comporta quando o argumento se aproxima de 1 e como multiplicar por influencia isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito na expressão dentro do logaritmo: . Quando fica cada vez maior, fica cada vez menor, se aproximando de 0. Assim, se aproxima de 1.

Passo 3

Sabemos que ln(1 + 7x) approx 7x pode ser aproximado por quando é muito pequeno (essa é a série de Taylor do logaritmo). No nosso caso, , que está indo para 0. Então podemos aproximar:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
x cdot ln(1 + 7x) approx x cdot 7x

Passo 5

Simplificando a expressão:
x cdot 7x = 7

Resposta

Portanto, o valor do limite é 7.

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