( 0,8 pt) Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de
. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma caixa com base quadrada, sem tampa, que tem um volume de
. Nosso objetivo é encontrar as medidas dessa caixa que usam a menor quantidade de material possível. Isso envolve conhecimentos de geometria e cálculo, especificamente otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Como a base é quadrada, vamos chamar o lado da base de
cm e a altura da caixa de
cm.
Passo 3
Sabemos que o volume
da caixa é dado por:
Como o volume é
, temos:
Podemos isolar
:
Passo 4
Agora, queremos minimizar a quantidade de material usado, ou seja, minimizar a área superficial
da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área é composta pela base e pelas quatro laterais:
Substituindo
por
:
Passo 5
Para encontrar o mínimo, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Então:
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
Passo 7
Com
, encontramos
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões que minimizam a quantidade de material usado são: base de
de lado e altura de
.