( 0,8 pt) Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem um volume de 500 cm^3. Encontre as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma caixa com base quadrada, sem tampa, que tem um volume de . Nosso objetivo é encontrar as medidas dessa caixa que usam a menor quantidade de material possível. Isso envolve conhecimentos de geometria e cálculo, especificamente otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Como a base é quadrada, vamos chamar o lado da base de cm e a altura da caixa de cm.

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Como o volume é , temos:
Podemos isolar :

Passo 4

Agora, queremos minimizar a quantidade de material usado, ou seja, minimizar a área superficial da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área é composta pela base e pelas quatro laterais:
Substituindo por :

Passo 5

Para encontrar o mínimo, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Então:

Passo 6

Resolvendo a equação para :

Passo 7

Com , encontramos usando a equação do volume:

Resposta

As dimensões que minimizam a quantidade de material usado são: base de de lado e altura de .

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