Determine, caso exista, o valor de: (0,7 pt) lim x 1 / 4 4 x-1tg(pi cdot x)-1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos que calcular o limite quando limx 14 4x - 1tan(pi x) - 1 se aproxima de da função:
Para resolver isso, vamos usar limites e, como veremos, a Regra de L’Hospital será muito útil.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 4 times 14 - 1 = 1 - 1 = 0 diretamente na função para ver o que acontece.
No numerador:
tan(pi times 14) - 1 = tan(pi4) - 1 = 1 - 1 = 0
No denominador:
Assim, ao substituir , obtemos uma forma indeterminada . Quando isso acontece, podemos aplicar a Regra de L’Hospital para encontrar o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que se tivermos um limite na forma ddx(4x - 1) = 4 ou ddx(tan(pi x) - 1) = pi sec^2(pi x) , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aqui, usamos a derivada de , que é vezes a derivada de . No nosso caso, , então a derivada de é .

Passo 4

Agora, substituímos pi sec^2(pi times 14) = pi sec^2(pi4) nas derivadas:
Para a derivada do denominador:
cos(pi4) = raiz22 então sec(pi4) = 1cos(pi4) = 2raiz2 = raiz2
Sabemos que:
sec^2(pi4) = (raiz2)^2 = 2 ã
Portanto:
pi times 2 = 2pi
Logo, a derivada do denominador é:

Resposta

Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite fica:
42pi = 2pi
Portanto, o valor do limite é .

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