Determine, caso exista, o valor de:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de
da função:
Para resolver isso, vamos usar limites e, como veremos, a Regra de L’Hospital será muito útil.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver o que acontece.
No numerador:
No denominador:
Assim, ao substituir
, obtemos uma forma indeterminada
. Quando isso acontece, podemos aplicar a Regra de L’Hospital para encontrar o limite.
Passo 3
A Regra de L’Hospital nos diz que se tivermos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Aqui, usamos a derivada de
, que é
vezes a derivada de
. No nosso caso,
, então a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, substituímos
nas derivadas:
Para a derivada do denominador:
Sabemos que:
Portanto:
Logo, a derivada do denominador é:
Resposta
Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite fica:
Portanto, o valor do limite é
.