Determine, caso existam, assíntotas verticais e horizontais da função
. Faça um esboço gráfico da situação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função
tem assíntotas verticais e horizontais. Isso envolve entender onde a função pode ter comportamentos limites, como crescer sem parar ou se aproximar de alguma linha específica. Para isso, vamos precisar analisar o denominador e o numerador da fração, além de conhecer um pouco sobre limites.
Passo 2
Primeiro, vamos ver onde a função pode ter assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem quando o denominador da fração é zero, mas o numerador não é zero no mesmo ponto. Então, vamos igualar o denominador a zero:
Resolvendo essa equação, temos:
Então, x = 2 é um ponto onde o denominador é zero. Agora, precisamos verificar o numerador nesse ponto:
Como
é aproximadamente 1,414, temos:
O numerador não é zero quando x = 2. Portanto, x = 2 é uma assíntota vertical da função.
Passo 3
Agora vamos procurar uma possível assíntota horizontal. Para isso, analisamos o comportamento da função quando x tende para o infinito. Simplificando a função:
À medida que x cresce muito,
cresce mais devagar que x. Então, podemos aproximar:
Quando x tende para o infinito,
tende a zero. Isso significa que a função se aproxima da linha y = 0.
Portanto, a assíntota horizontal é y = 0.
Resposta
A função
tem uma assíntota vertical em x = 2 e uma assíntota horizontal em y = 0. O esboço gráfico mostraria a curva se aproximando dessas linhas: perto de x = 2, a função tende para mais ou menos infinito, e para valores muito grandes de x, a função se aproxima de y = 0.