Determine e justifique em quais valores de a função a seguir é contínua e quais ela é descontínua:
Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir para quais valores de a função é contínua e onde ela tem descontinuidade. A função é definida por partes, então vamos usar conceitos de continuidade de funções por partes e limites para resolver isso. Vamos precisar verificar o comportamento da função nos pontos onde ela muda de definição, que são e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Vamos analisar a função f(x) = x em cada intervalo e nos pontos de mudança.
Para f(x) = 2x^2 - x :
f(x) = raizx + 3
Essa é uma função polinomial, que é contínua em todo o seu domínio.
Para :
Também é uma função polinomial, portanto contínua nesse intervalo.
Para :
Funções de raiz quadrada são contínuas onde estão definidas, ou seja, para . Como nosso intervalo começa em , está tudo certo.
Passo 4
Agora, vamos verificar os pontos f(1) = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1 e limx to 1^- f(x) = limx to 1^- x = 1 .
Para limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (2x^2 - x) = 2(1)^2 - 1 = 1 :
Valor da função:
f(2) = raiz2 + 3 = raiz5
Limite à esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (2x^2 - x) = 2(2)^2 - 2 = 8 - 2 = 6 se aproximando de 1 por valores menores):
limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ raizx + 3 = raiz2 + 3 = raiz5
Limite à direita ( se aproximando de 1 por valores maiores):
Como o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função são iguais a 1, a função é contínua em .
Para :
Valor da função:
Limite à esquerda ( se aproximando de 2 por valores menores):
Limite à direita ( se aproximando de 2 por valores maiores):
Aqui, o limite à esquerda () é diferente do limite à direita (). Além disso, não é igual a 6, então a função tem uma descontinuidade em .
Passo 5
Agora, vamos resumir onde a função é contínua e onde tem descontinuidade.
Contínua em todo o domínio, exceto em .
Descontínua em .
Resposta
A função é contínua para todo real, exceto em , onde apresenta uma descontinuidade.