Determine e justifique em quais valores de x a função a seguir é contínua e quais ela é descontínua:
f(x)=cll x, & se & x<1 2 x^2-x & se & 1 <= x<2 raizx+3, & se & x >= 2
Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa descobrir para quais valores de a função é contínua e onde ela tem descontinuidade. A função é definida por partes, então vamos usar conceitos de continuidade de funções por partes e limites para resolver isso. Vamos precisar verificar o comportamento da função nos pontos onde ela muda de definição, que são e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Vamos analisar a função f(x) = x em cada intervalo e nos pontos de mudança.
Para f(x) = 2x^2 - x :
f(x) = raizx + 3
Essa é uma função polinomial, que é contínua em todo o seu domínio.
Para :
Também é uma função polinomial, portanto contínua nesse intervalo.
Para :
Funções de raiz quadrada são contínuas onde estão definidas, ou seja, para . Como nosso intervalo começa em , está tudo certo.

Passo 4

Agora, vamos verificar os pontos f(1) = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1 e limx to 1^- f(x) = limx to 1^- x = 1 .
Para limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (2x^2 - x) = 2(1)^2 - 1 = 1 :
  • Valor da função:
f(2) = raiz2 + 3 = raiz5
  • Limite à esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (2x^2 - x) = 2(2)^2 - 2 = 8 - 2 = 6 se aproximando de 1 por valores menores):
limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ raizx + 3 = raiz2 + 3 = raiz5
  • Limite à direita ( se aproximando de 1 por valores maiores):
Como o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função são iguais a 1, a função é contínua em .
Para :
  • Valor da função:
  • Limite à esquerda ( se aproximando de 2 por valores menores):
  • Limite à direita ( se aproximando de 2 por valores maiores):
Aqui, o limite à esquerda ( ) é diferente do limite à direita ( ). Além disso, não é igual a 6, então a função tem uma descontinuidade em .

Passo 5

Agora, vamos resumir onde a função é contínua e onde tem descontinuidade.
  • Contínua em todo o domínio, exceto em .
  • Descontínua em .

Resposta

A função é contínua para todo real, exceto em , onde apresenta uma descontinuidade.

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