Determine (caso existam) os fasores que representam as seguintes funções:
v(t)=5 sen(10 t+30^circ)-8 cos (10 t+90^circ)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem a função:
E o que queremos é encontrar os fasores que representam essa função. Pra isso, vamos usar o conceito de fasores, que são uma forma de representar ondas senoidais usando números complexos. Isso facilita muito na hora de trabalhar com somas de ondas, como é o caso daqui.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar todas as partes da função v(t) em termos de funções senoidais com a mesma frequência e fase. Observa que a expressão tem e sen, mas a gente pode transformar o cosseno em seno usando a seguinte identidade trigonométrica:
Então, reescrevendo o segundo termo:
Assim, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos associar cada termo da função a um fasor. Um fasor para uma função da forma é representado por um número complexo:
A sen(omega t + phi)
Aqui, F = A e^jphi é a amplitude, A é a frequência angular, e omega é a fase. O phi é a unidade imaginária.

Passo 4

Vamos calcular os fasores para cada termo da função v(t).
  1. Primeiro termo:
    Convertendo para a forma retangular (a + bj):
  2. Segundo termo:
    Convertendo para a forma retangular:

Passo 5

Agora, vamos somar os dois fasores para obter o fasor total que representa a função v(t):
F = F1 + F2 = (5raiz32 + 8) + j (52 + 0) = (5raiz32 + 8) + j 52
Podemos simplificar isso para obter a forma polar (amplitude e fase):
  1. Amplitude ( A):
    A = raiz(5raiz32 + 8)^2 + (52)^2
  2. Fase ( phi):
    phi = tan^-1(525raiz32 + 8)
Vamos calcular esses valores numéricos:
  1. Calculando a amplitude:
    Primeiro, calculamos 5raiz32 + 8:
    5raiz32 approx 5 times 1,7322 approx 8,662 = 4,33
    Então:
    4,33 + 8 = 12,33
    Agora, elevando ao quadrado:
    (12,33)^2 approx 152,07
    E para o termo imaginário:
    (52)^2 = 6,25
    Somando:
    A = raiz152,07 + 6,25 = raiz158,32 approx 12,59
  2. Calculando a fase:
    phi = tan^-1(2,512,33) approx tan^-1(0,202) approx 11,43^circ

Resposta

Os fasores que representam a função v(t) são:
  1. Forma retangular:
    F = (5raiz32 + 8) + j 52 approx 12,33 + j5
  2. Forma polar:
    F approx 12,59 ang<= 11,43^circ
Isso significa que a função v(t) pode ser representada por um fasor com amplitude aproximadamente 12,59 e fase de 11,43 graus.

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