Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 da função
em torno do ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de polinômio de Taylor, que aproxima uma função suave por um polinômio próximo a um ponto específico. Precisamos calcular as derivadas da função até a segunda ordem e avaliar elas no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada da função
:
Avaliando no ponto
:
Passo 4
Seguimos para a segunda derivada:
Avaliando no ponto
:
Passo 5
Com esses valores, montamos o polinômio de Taylor de ordem 2 usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 2 para
em torno de
é:
Quanto aos gráficos, como estamos em um ambiente de texto, não consigo desenhá-los aqui. Mas você pode plotar
e
no mesmo gráfico usando ferramentas como o GeoGebra ou o Desmos para visualizar como o polinômio aproxima a função perto de
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função duas vezes derivável em
, e considere a função
chamada de polinômio de Taylor de ordem 2 de
em torno de
. O erro da aproximação de
por
é
. Mostre que
Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa:
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
, em
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
em