Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
f(x) = cos(x), x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 da função em torno do ponto . Para isso, vamos usar o conceito de polinômio de Taylor, que aproxima uma função suave por um polinômio próximo a um ponto específico. Precisamos calcular as derivadas da função até a segunda ordem e avaliar elas no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada da função :
Avaliando no ponto :

Passo 4

Seguimos para a segunda derivada:
Avaliando no ponto :

Passo 5

Com esses valores, montamos o polinômio de Taylor de ordem 2 usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 para em torno de é:
Quanto aos gráficos, como estamos em um ambiente de texto, não consigo desenhá-los aqui. Mas você pode plotar e no mesmo gráfico usando ferramentas como o GeoGebra ou o Desmos para visualizar como o polinômio aproxima a função perto de .

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