Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
t^4 + t^3 + t^2 + 1, em [-1, 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos globais da função no intervalo . Isso envolve entender um pouco de cálculo, tipo derivadas, para achar onde a função atinge seus valores mais alto e mais baixo nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, a gente precisa calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo naquele ponto.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos igualar a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Podemos fatorar um nessa equação:
Isso nos dá uma solução imediata:
Para encontrar outras soluções, precisamos resolver a equação quadrática dentro do parêntese.

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), não há soluções reais para essa equação. Portanto, o único ponto crítico real é .

Passo 5

Agora que identificamos o ponto crítico , vamos avaliar a função nos extremos do intervalo e nesse ponto crítico para determinar os valores máximos e mínimos.
Calculando:

Resposta

O mínimo global da função é 1, que ocorre em . O máximo global é 4, que ocorre em .

Exercícios relacionados