Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos globais da função
no intervalo
. Isso envolve entender um pouco de cálculo, tipo derivadas, para achar onde a função atinge seus valores mais alto e mais baixo nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, a gente precisa calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está subindo ou descendo naquele ponto.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar a derivada a zero para achar os pontos críticos:
Podemos fatorar um
nessa equação:
Isso nos dá uma solução imediata:
Para encontrar outras soluções, precisamos resolver a equação quadrática dentro do parêntese.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), não há soluções reais para essa equação. Portanto, o único ponto crítico real é
.
Passo 5
Agora que identificamos o ponto crítico
, vamos avaliar a função
nos extremos do intervalo e nesse ponto crítico para determinar os valores máximos e mínimos.
Calculando:
Resposta
O mínimo global da função é 1, que ocorre em
. O máximo global é 4, que ocorre em
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.
Mostre que 5 é um ponto crítico para a função
dada por
, mas que
não possui nem máximo nem mínimo global.
Suponha que a renda (em reais) de uma população está crescendo ao longo do tempo (em meses) segundo a função
. A quantidade de indivíduos desta população é denotada por
e também está variando ao longo do tempo. Embora não seja conhecida a expressão exata de
, sabe-se que a população no instante de tempo
meses era de 200 pessoas e estava crescendo a uma velocidade de 3 pessoas por mês. Qual é a taxa de variação da renda per capta desta população no instante
meses?