Mostre que 5 é um ponto crítico para a função g: R -> R dada por g(x) = 2 + (x - 5)^3, mas que g não possui nem máximo nem mínimo global.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que é um ponto crítico para a função . Além disso, devemos demonstrar que essa função não possui nem um máximo nem um mínimo global. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e análise de comportamento de funções.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos de uma função, calculamos sua derivada e verificamos onde ela é igual a zero ou não está definida. Vamos calcular a derivada de .
A função dada é:
Calculando a derivada em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de que tornam a derivada igual a zero:
Dividindo ambos os lados por 3:
Extraindo a raiz quadrada:
Portanto, é o único ponto onde a derivada de é zero.

Passo 4

Como a derivada é zero apenas em , esse ponto é considerado um ponto crítico da função . Isso confirma a primeira parte do exercício.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a função possui um máximo ou mínimo global. Vamos analisar o comportamento da função.
A função é um polinômio de terceiro grau. Sabemos que funções polinomiais de grau ímpar tendem a quando e a quando .

Passo 6

Como a função não está limitada superiormente nem inferiormente, ela não possui um valor máximo ou mínimo global. Ou seja, para qualquer valor grande que considerarmos, sempre existe outro que torna maior ou menor, respectivamente.

Resposta

Assim, mostramos que é um ponto crítico para a função , mas que não possui nem máximo nem mínimo global.

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