Suponha que a renda (em reais) de uma população está crescendo ao longo do tempo (em meses) segundo a função . A quantidade de indivíduos desta população é denotada por e também está variando ao longo do tempo. Embora não seja conhecida a expressão exata de , sabe-se que a população no instante de tempo meses era de 200 pessoas e estava crescendo a uma velocidade de 3 pessoas por mês. Qual é a taxa de variação da renda per capta desta população no instante meses?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente tem uma função que mostra como a renda total da população está crescendo com o tempo, que é . Além disso, sabemos algumas informações sobre a população no tempo meses: ela era de 200 pessoas e estava aumentando a uma velocidade de 3 pessoas por mês. A pergunta é: qual é a taxa de variação da renda per capita, ou seja, a renda por pessoa, nesse momento de meses.
Para resolver essa questão, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar como a renda per capita está mudando com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é renda per capita. É basicamente a renda total dividida pelo número de pessoas. Então, a renda per capita é dada por:
Queremos descobrir como essa renda per capita está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar a derivada de em relação a , que é .
Passo 3
Para encontrar , vamos usar a regra do quociente, que é uma técnica de derivação usada quando temos uma função que é a divisão de duas outras funções. A regra do quociente diz que:
Aqui, é a derivada da renda total em relação ao tempo, e é a derivada da população em relação ao tempo.
Passo 4
Vamos calcular cada parte necessária na fórmula da regra do quociente no tempo :
Derivada da Renda Total ():
A função da renda total é , então sua derivada é:
Valor da Renda Total no Tempo ():
População no Tempo ():
Já sabemos que .
Derivada da População ():
Já sabemos que .
Passo 5
Agora, substituindo esses valores na fórmula da regra do quociente:
Vamos simplificar:
Multiplicando as partes superiores:
Subtraindo os dois resultados:
Dividindo pelo quadrado de 200:
Resposta
A taxa de variação da renda per capita no instante meses é reais por mês.