Suponha que a renda (em reais) de uma população está crescendo ao longo do tempo (em meses) segundo a função r(t) = 400000 e^t. A quantidade de indivíduos desta população é denotada por p(t) e também está variando ao longo do tempo. Embora não seja conhecida a expressão exata de p(t), sabe-se que a população no instante de tempo t = 2 meses era de 200 pessoas e estava crescendo a uma velocidade de 3 pessoas por mês. Qual é a taxa de variação da renda per capta desta população no instante t = 2 meses?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente tem uma função que mostra como a renda total da população está crescendo com o tempo, que é . Além disso, sabemos algumas informações sobre a população p(t) no tempo t = 2 meses: ela era de 200 pessoas e estava aumentando a uma velocidade de 3 pessoas por mês. A pergunta é: qual é a taxa de variação da renda per capita, ou seja, a renda por pessoa, nesse momento de t = 2 meses.
Para resolver essa questão, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar como a renda per capita está mudando com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é renda per capita. É basicamente a renda total dividida pelo número de pessoas. Então, a renda per capita C(t) é dada por:
Queremos descobrir como essa renda per capita está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar a derivada de C(t) em relação a t, que é .

Passo 3

Para encontrar , vamos usar a regra do quociente, que é uma técnica de derivação usada quando temos uma função que é a divisão de duas outras funções. A regra do quociente diz que:
Aqui, é a derivada da renda total em relação ao tempo, e é a derivada da população em relação ao tempo.

Passo 4

Vamos calcular cada parte necessária na fórmula da regra do quociente no tempo t = 2:
  1. Derivada da Renda Total ( ):
    A função da renda total é , então sua derivada é:
  2. Valor da Renda Total no Tempo t = 2 ( ):
  3. População no Tempo t = 2 ( ):
    Já sabemos que .
  4. Derivada da População ( ):
    Já sabemos que .

Passo 5

Agora, substituindo esses valores na fórmula da regra do quociente:
Vamos simplificar:
  1. Multiplicando as partes superiores:
  2. Subtraindo os dois resultados:
  3. Dividindo pelo quadrado de 200:

Resposta

A taxa de variação da renda per capita no instante t = 2 meses é reais por mês.

Exercícios relacionados