Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
em

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos globais da função no intervalo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para identificar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar nossa função de . Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos encontrar onde a derivada dessa função é igual a zero ou não existe. Isso porque nesses pontos a função pode mudar de direção, indicando possíveis extremos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usando a regra do produto, temos:
Sabemos que:
Então, substituindo:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de onde :
Como nunca é zero para nenhum valor real de , a equação se reduz a:
Isso acontece quando , onde é um número inteiro. Vamos verificar quais desses valores estão no nosso intervalo :

Passo 5

Agora que temos os pontos críticos , além dos extremos do intervalo e , vamos calcular o valor da função nesses pontos:

Resposta

Após calcular os valores, concluímos que:
  • O máximo global ocorre em com valor .
  • O mínimo global ocorre em com valor .

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Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
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Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa:
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
Calcule os limites abaixo.
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