Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos globais da função
no intervalo
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para identificar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar nossa função de
. Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, precisamos encontrar onde a derivada dessa função é igual a zero ou não existe. Isso porque nesses pontos a função pode mudar de direção, indicando possíveis extremos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Usando a regra do produto, temos:
Sabemos que:
Então, substituindo:
Passo 4
Agora, queremos encontrar os valores de
onde
:
Como
nunca é zero para nenhum valor real de
, a equação se reduz a:
Isso acontece quando
, onde
é um número inteiro. Vamos verificar quais desses valores estão no nosso intervalo
:
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos
, além dos extremos do intervalo
e
, vamos calcular o valor da função nesses pontos:
Resposta
Após calcular os valores, concluímos que:
- O máximo global ocorre em
com valor . - O mínimo global ocorre em
com valor .
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Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.
Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa:
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
Calcule os limites abaixo.
.