Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
f(x) = ln(x), x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o polinômio de Taylor de ordem 2 da função em torno de . Para isso, vamos precisar usar o conceito de polinômio de Taylor, que envolve derivadas da função até a segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de ordem 2 para uma função em torno de um ponto é dado por:
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de :
Então, avaliando em :

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada de :
Avaliando em :

Passo 6

Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 da função em torno de é:
Para os gráficos, o de é uma curva que passa por (1,0) e cresce lentamente, enquanto o polinômio é uma parábola que aproxima a função perto de .

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