Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o polinômio de Taylor de ordem 2 da função
em torno de
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de polinômio de Taylor, que envolve derivadas da função até a segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de ordem 2 para uma função
em torno de um ponto
é dado por:
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
:
Então, avaliando em
:
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada de
:
Avaliando em
:
Passo 6
Agora, substituímos os valores encontrados na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 2 da função
em torno de
é:
Para os gráficos, o de
é uma curva que passa por (1,0) e cresce lentamente, enquanto o polinômio
é uma parábola que aproxima a função
perto de
.