Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a derivada da função
usando a regra de derivação da função inversa. Isso significa que vamos precisar entender como encontrar a derivada de uma função inversa. Basicamente, vamos usar um método que facilita a derivação quando temos a função inversa disponível.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é a função inversa de
. Lembra que função inversa é aquela que “desfaz” a função original. Então, se
, a função inversa será
, porque
.
Passo 3
Agora, vamos usar a regra da derivada da função inversa. A fórmula é:
Isso significa que a derivada da função inversa em
é o inverso da derivada da função original avaliada em
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Sabemos que:
Então, .
Passo 5
Aplicando a fórmula da derivada da função inversa:
Substituindo
e , temos:
Resposta
A derivada da função
é
.
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Suponha que a renda (em reais) de uma população está crescendo ao longo do tempo (em meses) segundo a função
. A quantidade de indivíduos desta população é denotada por
e também está variando ao longo do tempo. Embora não seja conhecida a expressão exata de
, sabe-se que a população no instante de tempo
meses era de 200 pessoas e estava crescendo a uma velocidade de 3 pessoas por mês. Qual é a taxa de variação da renda per capta desta população no instante
meses?
Mostre que 5 é um ponto crítico para a função
dada por
, mas que
não possui nem máximo nem mínimo global.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
em