Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a derivada da função usando a regra de derivação da função inversa. Isso significa que vamos precisar entender como encontrar a derivada de uma função inversa. Basicamente, vamos usar um método que facilita a derivação quando temos a função inversa disponível.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a função inversa de . Lembra que função inversa é aquela que “desfaz” a função original. Então, se , a função inversa será , porque .

Passo 3

Agora, vamos usar a regra da derivada da função inversa. A fórmula é:
Isso significa que a derivada da função inversa em é o inverso da derivada da função original avaliada em .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Sabemos que:
Então, .

Passo 5

Aplicando a fórmula da derivada da função inversa:
Substituindo e , temos:

Resposta

A derivada da função é .

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.
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em