Determine, caso existam, os seguintes limites: (0,5) lim (x, y) (1,1) x-y(x^2-y^2)(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de para a função . Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, que ajuda a entender como a função se comporta perto de um ponto específico. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e ver se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: . Isso pode ser fatorado usando uma identidade algébrica conhecida: . Então, nosso denominador fica .

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
x - y(x^2 - y^2)(x + y) = x - y(x - y)(x + y)(x + y)
Perceba que temos um no numerador e no denominador, então podemos simplificar esses termos, desde que (porque não dá para dividir por zero).

Passo 4

Após simplificar, ficamos com:
1(x + y)^2
Agora, a expressão ficou mais simples e não depende mais de , o que facilita calcular o limite.

Passo 5

Para encontrar o limite quando 1(1 + 1)^2 = 14 , substituímos e por 1 na expressão simplificada:
Portanto, o limite existe e é igual a .

Resposta

O limite é .

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