Determine, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de
para a função
. Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, que ajuda a entender como a função se comporta perto de um ponto específico. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e ver se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Isso pode ser fatorado usando uma identidade algébrica conhecida:
. Então, nosso denominador fica
.
Passo 3
Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
Perceba que temos um
no numerador e no denominador, então podemos simplificar esses termos, desde que
(porque não dá para dividir por zero).
Passo 4
Após simplificar, ficamos com:
Agora, a expressão ficou mais simples e não depende mais de
, o que facilita calcular o limite.
Passo 5
Para encontrar o limite quando
, substituímos
e
por 1 na expressão simplificada:
Portanto, o limite existe e é igual a
.
Resposta
O limite é
.