Beleza, vamos resolver juntos! O exercício pede para encontrarmos a curvatura da curva dada por no ponto . Isso faz parte do cálculo vetorial, onde estudamos como as curvas se comportam no espaço. Para resolver, vamos precisar calcular algumas derivadas e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função vetorial . A derivada primeira, denotada por , nos dá a velocidade no ponto . Calculando derivada de cada componente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada segunda da função vetorial, , que nos dá a aceleração no ponto . Calculando derivada de :
Passo 4
A fórmula para a curvatura de uma curva é dada por:
Aqui, representa o produto vetorial, e denota o módulo (ou comprimento) do vetor. Vamos calcular cada parte:
Primeiro, o produto vetorial :
Simplificando:
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
Em seguida, calculamos o módulo de elevado ao cubo:
Então,
Passo 5
Agora, identificamos o valor de t correspondente ao ponto (1, 1, 1). Observando a função , temos: