Encontre a curvatura de r(t) = <t, t^2, t^3> no ponto ( 1,1,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos! O exercício pede para encontrarmos a curvatura da curva dada por no ponto (1, 1, 1). Isso faz parte do cálculo vetorial, onde estudamos como as curvas se comportam no espaço. Para resolver, vamos precisar calcular algumas derivadas e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função vetorial r(t). A derivada primeira, denotada por , nos dá a velocidade no ponto t. Calculando derivada de cada componente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada segunda da função vetorial, , que nos dá a aceleração no ponto t. Calculando derivada de :

Passo 4

A fórmula para a curvatura kappa de uma curva é dada por:
Aqui, x vezes y representa o produto vetorial, e denota o módulo (ou comprimento) do vetor. Vamos calcular cada parte:
Primeiro, o produto vetorial :
Simplificando:
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
Em seguida, calculamos o módulo de elevado ao cubo:
Então,

Passo 5

Agora, identificamos o valor de t correspondente ao ponto (1, 1, 1). Observando a função , temos:
Substituindo nas expressões anteriores:
Produto vetorial:
Módulo do produto vetorial:
Módulo de elevado ao cubo:
Então,

Resposta

A curvatura da curva no ponto (1, 1, 1) é:

Exercícios relacionados