Determine, caso existam os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite . Aqui estamos trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente envolvendo valor absoluto e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o valor absoluto se comporta e como analisar o limite quando se aproxima de um valor, nesse caso, 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto sempre resulta em um número não negativo, ou seja, se e se . Isso é importante porque vamos analisar o limite de quando se aproxima de 0, tanto pelo lado positivo quanto pelo lado negativo.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ). Nesse caso, é positivo, então . Substituindo na expressão:
À medida que se aproxima de 0 pelo lado positivo, cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito positivo.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, quando se aproxima de 0 pelo lado negativo ( ). Nesse caso, é negativo, então . Substituindo na expressão:
Aqui, como é negativo e se aproxima de 0, também cresce sem limites no sentido positivo.

Passo 5

Como pelo lado positivo e pelo lado negativo se aproxima de 0, o limite tende ao infinito positivo em ambos os casos. Quando os limites laterais são iguais e tendem ao mesmo infinito, podemos concluir que o limite geral também tende a esse infinito.

Resposta

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