Uma partícula de massa 1 kg desloca-se sobre o eixo e sabe-se que sobre ela atuam uma força constante, paralela ao movimento, de 5 N e uma força de resistência, também paralela ao movimento, e cuja intensidade é igual à velocidade . Sabe-se, ainda, que . Qual a posição da partícula no instante ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa de 1 kg que se move no eixo . Ela está sob a ação de duas forças: uma força constante de 5 N na direção do movimento e uma força de resistência que depende da velocidade . Além disso, sabemos que no tempo inicial , tanto a velocidade quanto a posição são zero. Nosso objetivo aqui é encontrar a posição da partícula em um instante qualquer .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam na partícula. Temos:
  • Força constante ( ): Essa força é de 5 N e está sempre na direção do movimento.
  • Força de resistência ( ): Essa força depende da velocidade da partícula e é igual a . Ela também está na direção do movimento, mas atua contra a movimentação.
Como a partícula tem massa , podemos usar a segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante é igual ao produto da massa pela aceleração ( ):

Passo 3

Agora, vamos expressar a força resultante considerando as duas forças atuantes:
Substituindo na segunda lei de Newton:
Como , simplificamos para:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar , a velocidade em função do tempo.

Passo 4

Para resolver a equação diferencial , podemos rearranjá-la:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem linear. O próximo passo é encontrar um fator integrante, que nesse caso é . Multiplicando toda a equação por esse fator:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Resolvendo para :
Aplicando a condição inicial :
Portanto, a velocidade em função do tempo é:

Passo 5

Agora que temos , podemos encontrar a posição integrando a velocidade em relação ao tempo:
Calculando a integral:
Simplificando:

Resposta

A posição da partícula no instante é dada por:

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