Uma partícula de massa 1 kg desloca-se sobre o eixo
e sabe-se que sobre ela atuam uma força constante, paralela ao movimento, de 5 N e uma força de resistência, também paralela ao movimento, e cuja intensidade é igual à velocidade
. Sabe-se, ainda, que
. Qual a posição da partícula no instante
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa de 1 kg que se move no eixo
. Ela está sob a ação de duas forças: uma força constante de 5 N na direção do movimento e uma força de resistência que depende da velocidade
. Além disso, sabemos que no tempo inicial
, tanto a velocidade
quanto a posição
são zero. Nosso objetivo aqui é encontrar a posição da partícula em um instante qualquer
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que atuam na partícula. Temos:
- Força constante (
): Essa força é de 5 N e está sempre na direção do movimento. - Força de resistência (
): Essa força depende da velocidade da partícula e é igual a . Ela também está na direção do movimento, mas atua contra a movimentação.
Como a partícula tem massa
, podemos usar a segunda lei de Newton, que nos diz que a força resultante
é igual ao produto da massa pela aceleração (
):
Passo 3
Agora, vamos expressar a força resultante considerando as duas forças atuantes:
Substituindo na segunda lei de Newton:
Como
, simplificamos para:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver para encontrar
, a velocidade em função do tempo.
Passo 4
Para resolver a equação diferencial
, podemos rearranjá-la:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem linear. O próximo passo é encontrar um fator integrante, que nesse caso é
. Multiplicando toda a equação por esse fator:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Resolvendo para
:
Aplicando a condição inicial
:
Portanto, a velocidade em função do tempo é:
Passo 5
Agora que temos
, podemos encontrar a posição
integrando a velocidade em relação ao tempo:
Calculando a integral:
Simplificando:
Resposta
A posição da partícula no instante
é dada por:
Exercícios relacionados
Determine
que satisfaça as condições dadas.
Determine, caso existam, as soluções constantes.
Determine o tempo necessário para se esvaziar completamente um tanque cilíndrico de raio da base
e altura
, cheio de água, admitindo que a água se escoe através de um orifício, situado na base do tanque, de raio
, com velocidade
, sendo
a altura da água no tanque e
a aceleração gravitacional.
Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante
seja proporcional à população neste instante, com coeficiente de proporcionalidade
, sendo
o coeficiente de natalidade e
o de mortalidade. Desse modo, a variação da população
é regida pela equação diferencial linear
Suponha que a população no instante
seja
. O que acontece com a população se
?