Determine
que satisfaça as condições dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que relaciona
e
. A equação é
e sabemos que quando
,
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa condição. Para resolver isso, vamos usar métodos de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde a gente consegue separar os termos de
dos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Temos:
Podemos rearranjar para:
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. Antes disso, vamos fatorar o denominador do lado esquerdo. A expressão
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para resolver a integral do lado esquerdo, vamos usar frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Vamos encontrar os valores de
e
. Escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Então, a fração parcial fica:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Multiplique ambos os lados por 4:
onde
.
Passo 7
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a exponencial em ambos os lados:
Podemos reescrever
como
, onde
é uma nova constante.
Passo 8
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Rearranjando os termos com
:
Fatorando
do lado esquerdo:
Finalmente, isolando
:
Passo 9
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar
.
Substituindo
e
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Somando
de ambos os lados:
Então,
.
Passo 10
Com
, a expressão para
fica:
Resposta
A solução que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é
.