Determine que satisfaça as condições dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que relaciona e . A equação é e sabemos que quando , . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa condição. Para resolver isso, vamos usar métodos de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde a gente consegue separar os termos de dos de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar os termos com de um lado e os termos com do outro. Temos:
Podemos rearranjar para:

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. Antes disso, vamos fatorar o denominador do lado esquerdo. A expressão é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, a integral fica:

Passo 4

Para resolver a integral do lado esquerdo, vamos usar frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Vamos encontrar os valores de e . Escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
Então, a fração parcial fica:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Multiplique ambos os lados por 4:
onde .

Passo 7

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a exponencial em ambos os lados:
Podemos reescrever como , onde é uma nova constante.

Passo 8

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o :
Rearranjando os termos com :
Fatorando do lado esquerdo:
Finalmente, isolando :

Passo 9

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar .
Substituindo e :
Dividindo ambos os lados por 2:
Multiplicando ambos os lados por :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Somando de ambos os lados:
Então, .

Passo 10

Com , a expressão para fica:

Resposta

A solução que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é .

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