Determine (caso existam) todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
. Vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificar cada tipo delas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas horizontais. Uma assíntota horizontal é uma linha reta
que o gráfico da função se aproxima quando
tende ao infinito positivo ou negativo. Para encontrar isso, vamos calcular o limite de
quando
vai para
e para
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
tende a
:
Para simplificar, fatoramos
de dentro da raiz:
Como
tende a
,
. Então:
Subtraindo
:
Quando
tende a
,
tende a 0. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende a
:
Novamente, fatoramos
:
Como
tende a
,
. Então:
Subtraindo
:
Quando
tende a
,
tende a
. Então:
Passo 5
Agora, vamos verificar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem quando a função tende a
ou
para algum valor de
. Para nossa função
, vamos analisar se há valores de
que fazem o denominador ser zero ou a função não estar definida.
Passo 6
Observando
, vemos que a raiz quadrada está sempre definida porque
é sempre positiva para qualquer valor real de
. Além disso, não há denominador que possa ser zero. Portanto, não existem assíntotas verticais para essa função.
Resposta
A função
possui uma assíntota horizontal em
quando
tende a
e não possui assíntotas verticais.
Exercícios relacionados
Responda se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, justificando: Se
e
são duas funções tais que
e
existe, então
não existe.
Calcule os limites a seguir:
;
Determine todos os valores possíveis para a constante real
tais que a função abaixo seja contínua em toda a reta real:
Mostre que a superposição de dois movimentos retilíneos ortogonais entre si, sendo um uniforme e o outro uniformemente acelerado, resulta em uma trajetória parabólica.