Determine (caso existam) todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função . Vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificar cada tipo delas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas horizontais. Uma assíntota horizontal é uma linha reta que o gráfico da função se aproxima quando tende ao infinito positivo ou negativo. Para encontrar isso, vamos calcular o limite de quando vai para e para .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando tende a :
Para simplificar, fatoramos de dentro da raiz:
Como tende a , . Então:
Subtraindo :
Quando tende a , tende a 0. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando tende a :
Novamente, fatoramos :
Como tende a , . Então:
Subtraindo :
Quando tende a , tende a . Então:

Passo 5

Agora, vamos verificar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem quando a função tende a ou para algum valor de . Para nossa função , vamos analisar se há valores de que fazem o denominador ser zero ou a função não estar definida.

Passo 6

Observando , vemos que a raiz quadrada está sempre definida porque é sempre positiva para qualquer valor real de . Além disso, não há denominador que possa ser zero. Portanto, não existem assíntotas verticais para essa função.

Resposta

A função possui uma assíntota horizontal em quando tende a e não possui assíntotas verticais.

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