Determine todos os valores possíveis para a constante real tais que a função abaixo seja contínua em toda a reta real:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas jeitos diferentes dependendo de x ser menor ou igual a zero ou maior que zero. O objetivo é encontrar todos os valores possíveis para a constante real que fazem essa função ser contínua em toda a reta real. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de função e como garantir que os dois “pedacinhos” da função se conectem direitinho no ponto onde eles se encontram, que é em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em todo o seu domínio. Basicamente, uma função é contínua se não tem “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. No nosso caso, a função muda de expressão quando passa de ser menor ou igual a zero para ser maior que zero. Então, para garantir que não tem salto em , precisamos que o limite da função quando se aproxima de zero pela esquerda seja igual ao limite quando se aproxima de zero pela direita, e ambos esses limites devem ser iguais ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em . Como , usamos a primeira parte da função:
Então, para a função ser contínua, precisamos que o limite quando se aproxima de zero pela direita também seja 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de zero pela direita ( ):
Queremos que esse limite seja igual a 1 para garantir a continuidade:

Passo 5

Agora, temos que resolver a equação para encontrar todos os valores possíveis de . Sabemos que o seno de um ângulo é igual a 1 quando o ângulo é mais múltiplos inteiros de . Ou seja:
éú

Resposta

Todos os valores de que garantem a continuidade são da forma , onde é qualquer número inteiro.

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