Determine todos os valores possíveis para a constante real
tais que a função abaixo seja contínua em toda a reta real:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas jeitos diferentes dependendo de x ser menor ou igual a zero ou maior que zero. O objetivo é encontrar todos os valores possíveis para a constante real
que fazem essa função ser contínua em toda a reta real. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de função e como garantir que os dois “pedacinhos” da função se conectem direitinho no ponto onde eles se encontram, que é em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em todo o seu domínio. Basicamente, uma função é contínua se não tem “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. No nosso caso, a função
muda de expressão quando
passa de ser menor ou igual a zero para ser maior que zero. Então, para garantir que não tem salto em
, precisamos que o limite da função quando
se aproxima de zero pela esquerda seja igual ao limite quando
se aproxima de zero pela direita, e ambos esses limites devem ser iguais ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função em
. Como
, usamos a primeira parte da função:
Então, para a função ser contínua, precisamos que o limite quando
se aproxima de zero pela direita também seja 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de zero pela direita (
):
Queremos que esse limite seja igual a 1 para garantir a continuidade:
Passo 5
Agora, temos que resolver a equação para encontrar todos os valores possíveis de
. Sabemos que o seno de um ângulo é igual a 1 quando o ângulo é
mais múltiplos inteiros de
. Ou seja:
Resposta
Todos os valores de
que garantem a continuidade são da forma
, onde
é qualquer número inteiro.
Exercícios relacionados
Determine (caso existam) todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
.
Responda se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, justificando: Se
e
são duas funções tais que
e
existe, então
não existe.
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(sendo
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e posição
?