Responda se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, justificando: Se
e
são duas funções tais que
e
existe, então
não existe.
Passo 1
Então, galera, vamos ver o que a pergunta tá pedindo! A gente tem duas funções,
e
. Sabemos que, quando
se aproxima de
,
se aproxima de zero, ou seja,
. Também sabemos que
existe, ou seja,
tem um limite bem definido quando
chega perto de
. A pergunta é: será que o limite de
quando
se aproxima de
não existe? Vamos analisar usando conceitos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a gente tem o limite de uma função
, é importante olhar para os limites de
e
separadamente. Se
e
é um número real, digamos
, então estamos olhando para
.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que significa dividir por zero em limites. Se
for diferente de zero,
sugere que o limite tende para mais infinito ou menos infinito, dependendo do sinal de
próximo de
. Isso geralmente significa que o limite
não existe no sentido de ser infinito.
Passo 4
Porém, se
, ou seja,
, então temos uma situação do tipo
, que é uma indeterminação. Nesses casos, podemos usar técnicas como a Regra de L’Hôpital para tentar resolver o limite, e o limite pode existir dependendo das derivadas de
e
.
Passo 5
Então, resumindo: se
existe e é diferente de zero, e
, então
não existe (tende para infinito). Mas se
, o limite
pode existir ou não, dependendo de outros fatores.
Resposta
A afirmativa é falsa. Embora
e
exista, o limite de
pode existir ou não, dependendo se
é zero ou não. Se
for diferente de zero, o limite de
não existe (tende ao infinito). Se for zero, o limite pode existir e ser determinado por outras técnicas, como a Regra de L’Hôpital.
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir:
;
Encontre o limite
Determine (caso existam) todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
.
Determine todos os valores possíveis para a constante real
tais que a função abaixo seja contínua em toda a reta real: