Responda se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, justificando: Se e são duas funções tais que e existe, então não existe.

Passo 1

Então, galera, vamos ver o que a pergunta tá pedindo! A gente tem duas funções, e . Sabemos que, quando se aproxima de , se aproxima de zero, ou seja, . Também sabemos que existe, ou seja, tem um limite bem definido quando chega perto de . A pergunta é: será que o limite de quando se aproxima de não existe? Vamos analisar usando conceitos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a gente tem o limite de uma função , é importante olhar para os limites de e separadamente. Se e é um número real, digamos , então estamos olhando para .

Passo 3

Agora, precisamos entender o que significa dividir por zero em limites. Se for diferente de zero, sugere que o limite tende para mais infinito ou menos infinito, dependendo do sinal de próximo de . Isso geralmente significa que o limite não existe no sentido de ser infinito.

Passo 4

Porém, se , ou seja, , então temos uma situação do tipo , que é uma indeterminação. Nesses casos, podemos usar técnicas como a Regra de L’Hôpital para tentar resolver o limite, e o limite pode existir dependendo das derivadas de e .

Passo 5

Então, resumindo: se existe e é diferente de zero, e , então não existe (tende para infinito). Mas se , o limite pode existir ou não, dependendo de outros fatores.

Resposta

A afirmativa é falsa. Embora e exista, o limite de pode existir ou não, dependendo se é zero ou não. Se for diferente de zero, o limite de não existe (tende ao infinito). Se for zero, o limite pode existir e ser determinado por outras técnicas, como a Regra de L’Hôpital.

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Calcule os limites a seguir: ;
Encontre o limite
Determine (caso existam) todas as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função .
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