Determine, caso existam e usando curvas de nível, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos. f(x, y) = x * y e A = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0} e y ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores máximo e mínimo da função no conjunto , que consiste em todos os pontos onde e . Para fazer isso, vamos usar curvas de nível, que são como “linhas de contorno” da função no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que são curvas de nível. Para uma função de duas variáveis como , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor , temos:
Essas curvas são hipérboles no plano .

Passo 3

Como queremos encontrar os valores máximo e mínimo de no conjunto , precisamos ver como essas curvas de nível se comportam dentro de . No primeiro quadrante ( ), as hipérboles ficam todas no primeiro quadrante.

Passo 4

Vamos analisar os limites de . Como e são maiores ou iguais a zero, não há restrição superior, ou seja, e podem crescer indefinidamente. Isso significa que o produto também pode crescer sem limites, indicando que a função não possui um valor máximo no conjunto .

Passo 5

Agora, vamos ver sobre o valor mínimo. Como e , o menor valor que pode assumir é zero. Isso ocorre quando pelo menos um dos valores, ou , é zero.

Passo 6

Portanto, o mínimo é . Vamos identificar em quais pontos isso acontece:
  • Quando e .
  • Quando e .
Esses são os pontos no eixo e no eixo no conjunto .

Resposta

A função não possui valor máximo no conjunto . O valor mínimo é e é atingido em todos os pontos onde ou dentro de .

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