Determine, caso existam e usando curvas de nível, os valores máximo e mínimo de
em
; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os valores máximo e mínimo da função
no conjunto
, que consiste em todos os pontos onde
e
. Para fazer isso, vamos usar curvas de nível, que são como “linhas de contorno” da função no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que são curvas de nível. Para uma função de duas variáveis como
, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor
, temos:
Essas curvas são hipérboles no plano
.
Passo 3
Como queremos encontrar os valores máximo e mínimo de
no conjunto
, precisamos ver como essas curvas de nível se comportam dentro de
. No primeiro quadrante (
), as hipérboles
ficam todas no primeiro quadrante.
Passo 4
Vamos analisar os limites de
. Como
e
são maiores ou iguais a zero, não há restrição superior, ou seja,
e
podem crescer indefinidamente. Isso significa que o produto
também pode crescer sem limites, indicando que a função
não possui um valor máximo no conjunto
.
Passo 5
Agora, vamos ver sobre o valor mínimo. Como
e
, o menor valor que
pode assumir é zero. Isso ocorre quando pelo menos um dos valores,
ou
, é zero.
Passo 6
Portanto, o mínimo é
. Vamos identificar em quais pontos isso acontece:
- Quando
e . - Quando
e .
Esses são os pontos no eixo
e no eixo
no conjunto
.
Resposta
A função
não possui valor máximo no conjunto
. O valor mínimo é
e é atingido em todos os pontos onde
ou
dentro de
.