Encontre a soma
(e)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a soma da série infinita
. Isso envolve séries geométricas, que são somas onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão elevada a algum expoente. Para resolver, vamos identificar cada série e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a soma em duas séries diferentes:
Passo 3
Vamos simplificar cada uma dessas séries. Começando pela primeira:
Aqui, temos uma série geométrica com razão
.
Passo 4
Agora, a segunda série:
Fizemos isso porque
. Assim, temos outra série geométrica com razão
e um fator multiplicativo de 3.
Passo 5
Para somar séries geométricas infinitas, usamos a fórmula:
onde
é o primeiro termo e
é a razão da série, com
.
Passo 6
Aplicando a fórmula na primeira série:
Passo 7
Agora, para a segunda série:
Passo 8
Finalmente, somamos os resultados das duas séries:
Resposta
A soma da série é
.