Encontre a soma
(e) sumn=0^infty(2^-n+3^-n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a soma da série infinita . Isso envolve séries geométricas, que são somas onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão elevada a algum expoente. Para resolver, vamos identificar cada série e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma em duas séries diferentes:
sumn=0^infty 2^-n + sumn=0^infty 3^-n+1

Passo 3

Vamos simplificar cada uma dessas séries. Começando pela primeira:
sumn=0^infty 2^-n = sumn=0^infty (12)^n
Aqui, temos uma série geométrica com razão .

Passo 4

Agora, a segunda série:
sumn=0^infty 3^-n+1 = 3 sumn=0^infty (13)^n
Fizemos isso porque . Assim, temos outra série geométrica com razão e um fator multiplicativo de 3.

Passo 5

Para somar séries geométricas infinitas, usamos a fórmula:
sumn=0^infty ar^n = a1 - r
onde é o primeiro termo e é a razão da série, com .

Passo 6

Aplicando a fórmula na primeira série:
sumn=0^infty (12)^n = 11 - 12 = 112 = 2

Passo 7

Agora, para a segunda série:
3 sumn=0^infty (13)^n = 3 cdot 11 - 13 = 3 cdot 123 = 3 cdot 32 = 92

Passo 8

Finalmente, somamos os resultados das duas séries:
2 + 92 = 42 + 92 = 132

Resposta

A soma da série é .

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