Encontre a soma
(f)
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Passo 1
Vamos resolver a soma infinita
. Esse exercício está relacionado a séries geométricas, que são somas de termos que seguem uma razão constante. Para resolver, vamos precisar entender como somar séries infinitas com razão menor que 1.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a soma em duas partes distintas:
Isso facilita o cálculo, já que podemos resolver cada série individualmente.
Passo 3
Agora, vamos focar na primeira série:
. Podemos reescrever
como
. Isso é uma série geométrica com a razão
.
Passo 4
Para uma série geométrica
, onde
, a soma é dada por:
Aplicando isso à nossa primeira série:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e denominador por
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda série:
. Da mesma forma, reescrevemos
como
, que também é uma série geométrica com razão
.
Passo 7
Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Passo 8
Simplificando essa expressão:
Racionalizando o denominador:
Passo 9
Agora, somamos as duas séries que calculamos:
Para facilitar, podemos escrever
como
:
Resposta
A soma da série é
.