Encontre a soma
(f) sumn=0^infty(2^-n / 2+3^-n / 2)

Passo 1

Vamos resolver a soma infinita . Esse exercício está relacionado a séries geométricas, que são somas de termos que seguem uma razão constante. Para resolver, vamos precisar entender como somar séries infinitas com razão menor que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a soma em duas partes distintas:
sumn=0^infty2^-n/2 + sumn=0^infty3^-n/2
Isso facilita o cálculo, já que podemos resolver cada série individualmente.

Passo 3

Agora, vamos focar na primeira série: . Podemos reescrever como . Isso é uma série geométrica com a razão .

Passo 4

Para uma série geométrica sumn=0^inftyr^n = 11 - r , onde sumn=0^infty(1raiz2)^n = 11 - 1raiz2 , a soma é dada por:
Aplicando isso à nossa primeira série:

Passo 5

Simplificando a expressão:
11 - 1raiz2 = 1raiz2 - 1raiz2 = raiz2raiz2 - 1
Podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e denominador por raiz2(raiz2 + 1)(raiz2 - 1)(raiz2 + 1) = 2 + raiz22 - 1 = 2 + raiz2 :

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda série: . Da mesma forma, reescrevemos como , que também é uma série geométrica com razão .

Passo 7

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
sumn=0^infty(1raiz3)^n = 11 - 1raiz3

Passo 8

Simplificando essa expressão:
11 - 1raiz3 = 1raiz3 - 1raiz3 = raiz3raiz3 - 1
Racionalizando o denominador:
raiz3(raiz3 + 1)(raiz3 - 1)(raiz3 + 1) = 3 + raiz33 - 1 = 3 + raiz32

Passo 9

Agora, somamos as duas séries que calculamos:
2 + raiz2 + 3 + raiz32
Para facilitar, podemos escrever 42 + raiz2 + 3 + raiz32 = 4 + 32 + raiz2 + raiz32 = 72 + raiz2 + raiz32 como :

Resposta

A soma da série é .

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