Encontre a soma
(a) sumn=1^infty 2^2 n 5^1-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma:
sumn=1^infty 2^2n cdot 5^1-n
Aqui, estamos lidando com uma série infinita que envolve potências. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como somá-las quando elas convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma para deixá-la mais fácil de trabalhar.
Comecemos separando as potências:
2^2n = (2^2)^n = 4^n
E para 5^1-n = 5^1 cdot 5^-n = 5 cdot (15)^n :
sumn=1^infty 4^n cdot 5 cdot (15)^n
Então, substituindo de volta na soma, temos:

Passo 3

Agora, vamos combinar os termos semelhantes. Note que 4^n cdot (15)^n = (45)^n e sumn=1^infty 5 cdot (45)^n podem ser multiplicados juntos:
Então, a soma fica:

Passo 4

Ficou claro que estamos lidando com uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
sumn=1^infty ar^n
onde S = a cdot r1 - r é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos. A soma dessa s��rie, quando , é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
S = 5 cdot 451 - 45 = 415 = 4 times 5 = 20

Resposta

A soma da série é 20.

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