Resolva os seguintes problemas de otimização:
(e) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30 cm, destacando - se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando - se os lados conforme figura abaixo:
Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma folha de papelão com medidas de 16 cm por 30 cm. Queremos cortar quadrados iguais de cada um dos quatro cantos e dobrar os lados para formar uma caixa aberta que tenha o maior volume possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em matemática, especificamente cálculo para encontrar o máximo do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o tamanho de cada quadrado que será cortado das bordas como cm. Ao cortar esses quadrados e dobrar os lados, as dimensões da caixa serão:
  • Comprimento: cm
  • Largura: cm
  • Altura: cm
Com isso, o volume da caixa pode ser expressado pela fórmula:

Passo 3

Vamos expandir a expressão do volume para simplificar:
Primeiro, multiplicamos por :
Então, o volume fica:

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero:
Queremos encontrar quando :

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática . Primeiro, simplificamos dividindo todos os termos por 4:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Calculando o discriminante:
Como , temos:
Isso resulta em duas soluções:
Verificamos qual solução faz sentido no contexto. Se cm, a largura da caixa seria negativa ( cm), o que não é possível. Portanto, a solução viável é cm.

Resposta

Para obter a maior caixa, o tamanho dos quadrados a serem cortados é aproximadamente 3,33 cm.

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