Resolva os seguintes problemas de otimização:
(e) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por
, destacando - se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando - se os lados conforme figura abaixo:
Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume?
(e) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma folha de papelão com medidas de 16 cm por 30 cm. Queremos cortar quadrados iguais de cada um dos quatro cantos e dobrar os lados para formar uma caixa aberta que tenha o maior volume possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em matemática, especificamente cálculo para encontrar o máximo do volume.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o tamanho de cada quadrado que será cortado das bordas como
cm. Ao cortar esses quadrados e dobrar os lados, as dimensões da caixa serão:
- Comprimento:
cm - Largura:
cm - Altura:
cm
Com isso, o volume
da caixa pode ser expressado pela fórmula:
Passo 3
Vamos expandir a expressão do volume para simplificar:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Então, o volume fica:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Queremos encontrar quando
:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
. Primeiro, simplificamos dividindo todos os termos por 4:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Calculando o discriminante:
Como
, temos:
Isso resulta em duas soluções:
Verificamos qual solução faz sentido no contexto. Se
cm, a largura da caixa seria negativa (
cm), o que não é possível. Portanto, a solução viável é
cm.
Resposta
Para obter a maior caixa, o tamanho dos quadrados a serem cortados é aproximadamente 3,33 cm.