Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
. Determine também os pontos em que estes valores são atingidos.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
definida no conjunto
. Nosso objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo dessa função no conjunto A e identificar os pontos onde esses valores acontecem.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de duas variáveis, especialmente como encontrar máximos e mínimos usando derivadas parciais e analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os possíveis valores que a função
pode assumir. Observando a expressão da função, vemos que o numerador
e o denominador
são sempre positivos, já que são quadrados de números reais. Portanto,
sempre será um número entre 0 e 1.
Para encontrar os valores máximos e mínimos, vamos investigar os limites dessa função.
Passo 3
Vamos examinar quando
atinge seu valor mínimo. Isso acontece quando
é o menor possível. Como ambos
e
são positivos, o mínimo de
ocorre quando
.
Substituindo
na função:
Então, o mínimo de
é 0, e esse valor é alcançado em todos os pontos onde
, ou seja, no eixo y, exceto no ponto (0,0) que está excluído do conjunto A.
Passo 4
Agora, vamos ver quando
atinge seu valor máximo. O máximo ocorre quando
é o maior possível. Isso acontece quando
, pois então a expressão se torna:
Portanto, o máximo de
é 1, e esse valor é atingido em todos os pontos onde
, ou seja, no eixo x, novamente excluindo o ponto (0,0).
Passo 5
Resumindo, analisamos os casos onde a função
atinge seus valores extremos. Vimos que:
- O valor mínimo é 0, atingido quando
(no eixo y). - O valor máximo é 1, atingido quando
(no eixo x).
Resposta
A função
definida em
possui:
- Valor mínimo: 0, atingido em todos os pontos do eixo y (onde
). - Valor máximo: 1, atingido em todos os pontos do eixo x (onde
).
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções:
(f)
(f)
(a)
;
(b) ;
© ;
(i) Para determinar o zero de usando o Método do Ponto Fixo qual ou quais funções
você usaria?
(ii) Calcule o zero com erro inferior a .
(b)
©
(i) Para determinar o zero de
(ii) Calcule o zero com erro inferior a
(a) Qual ou quais dos métodos abaixo podem ser usados para determinar os zeros de
?
(i) Bisseç̧ão;
(ii) Newton;
(iii) Secante.
(b) Qual você escolheria para ter a convergência mais rápida?
(i) Bisseç̧ão;
(ii) Newton;
(iii) Secante.
(b) Qual você escolheria para ter a convergência mais rápida?
c)