Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de em . Determine também os pontos em que estes valores são atingidos.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função definida no conjunto . Nosso objetivo é encontrar os valores máximo e mínimo dessa função no conjunto A e identificar os pontos onde esses valores acontecem.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de duas variáveis, especialmente como encontrar máximos e mínimos usando derivadas parciais e analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os possíveis valores que a função pode assumir. Observando a expressão da função, vemos que o numerador e o denominador são sempre positivos, já que são quadrados de números reais. Portanto, sempre será um número entre 0 e 1.
Para encontrar os valores máximos e mínimos, vamos investigar os limites dessa função.

Passo 3

Vamos examinar quando atinge seu valor mínimo. Isso acontece quando é o menor possível. Como ambos e são positivos, o mínimo de ocorre quando .
Substituindo na função:
Então, o mínimo de é 0, e esse valor é alcançado em todos os pontos onde , ou seja, no eixo y, exceto no ponto (0,0) que está excluído do conjunto A.

Passo 4

Agora, vamos ver quando atinge seu valor máximo. O máximo ocorre quando é o maior possível. Isso acontece quando , pois então a expressão se torna:
Portanto, o máximo de é 1, e esse valor é atingido em todos os pontos onde , ou seja, no eixo x, novamente excluindo o ponto (0,0).

Passo 5

Resumindo, analisamos os casos onde a função atinge seus valores extremos. Vimos que:
  • O valor mínimo é 0, atingido quando (no eixo y).
  • O valor máximo é 1, atingido quando (no eixo x).

Resposta

A função definida em possui:
  • Valor mínimo: 0, atingido em todos os pontos do eixo y (onde ).
  • Valor máximo: 1, atingido em todos os pontos do eixo x (onde ).

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das funções:
(f)
(a) ;
(b) ;
© ;
(i) Para determinar o zero de usando o Método do Ponto Fixo qual ou quais funções você usaria?
(ii) Calcule o zero com erro inferior a .
(a) Qual ou quais dos métodos abaixo podem ser usados para determinar os zeros de ?
(i) Bisseç̧ão;
(ii) Newton;
(iii) Secante.
(b) Qual você escolheria para ter a convergência mais rápida?

c)