(a)
;
(b)
;
©
;
(i) Para determinar o zero de
usando o Método do Ponto Fixo qual ou quais funções
você usaria?
(ii) Calcule o zero com erro inferior a
.
(b)
©
(i) Para determinar o zero de
(ii) Calcule o zero com erro inferior a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta três funções
e nos pede para usar o Método do Ponto Fixo para encontrar o zero de uma função
. Primeiro, vamos entender que o Método do Ponto Fixo é uma técnica para encontrar soluções de equações da forma
. Para isso, precisamos escolher uma função
que nos ajude a convergir para o zero de
. Vamos analisar cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Na parte (i), temos que decidir qual das funções
dadas é adequada para usar no Método do Ponto Fixo. As funções são:
a)
b)
c)
Para o Método do Ponto Fixo funcionar bem, a derivada de
no ponto fixo deve ter valor absoluto menor que 1 (
) para garantir a convergência. Vamos verificar qual dessas funções atende a esse critério.
Passo 3
Vamos analisar cada função:
a)
A derivada é
. Para que
, precisaríamos que
, ou seja,
. Isso limita bastante a escolha do ponto inicial.
b)
A derivada é
. Dependendo do valor de
, podemos ter
para certos intervalos.
c)
A derivada é
. É mais complicado garantir que
para esta função, pois depende muito de
.
Assim, a função b) parece ser a mais adequada para o Método do Ponto Fixo porque sua derivada pode ser menor que 1 em um intervalo apropriado.
Passo 4
Então, para a parte (i), a função que vamos usar é:
b)
Agora, vamos para a parte (ii), onde precisamos calcular o zero com erro inferior a
.
Passo 5
Vamos aplicar o Método do Ponto Fixo usando
. Escolhemos um ponto inicial
. Vamos escolher, por exemplo,
.
O método funciona da seguinte forma:
Vamos iterar até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Passo 6
Iteração 1:
Erro:
(maior que
)
Iteração 2:
Erro:
(maior que
)
Iteração 3:
Erro:
(maior que
)
Iteração 4:
Erro:
(menor que
)
Resposta
O zero da função
usando o Método do Ponto Fixo é aproximadamente
.