(a) g(x) = x^3 - 5;
(b) g(x) = raiz³(x + 5);
© g(x) = 5 / (x^2 - 1);
(i) Para determinar o zero de f usando o Método do Ponto Fixo qual ou quais funções g você usaria?
(ii) Calcule o zero com erro inferior a 10^(-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta três funções e nos pede para usar o Método do Ponto Fixo para encontrar o zero de uma função . Primeiro, vamos entender que o Método do Ponto Fixo é uma técnica para encontrar soluções de equações da forma . Para isso, precisamos escolher uma função que nos ajude a convergir para o zero de . Vamos analisar cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Na parte (i), temos que decidir qual das funções dadas é adequada para usar no Método do Ponto Fixo. As funções são:
a)
b)
c)
Para o Método do Ponto Fixo funcionar bem, a derivada de no ponto fixo deve ter valor absoluto menor que 1 ( ) para garantir a convergência. Vamos verificar qual dessas funções atende a esse critério.

Passo 3

Vamos analisar cada função:
a)
A derivada é . Para que , precisaríamos que , ou seja, . Isso limita bastante a escolha do ponto inicial.
b)
A derivada é . Dependendo do valor de , podemos ter para certos intervalos.
c)
A derivada é . É mais complicado garantir que para esta função, pois depende muito de .
Assim, a função b) parece ser a mais adequada para o Método do Ponto Fixo porque sua derivada pode ser menor que 1 em um intervalo apropriado.

Passo 4

Então, para a parte (i), a função que vamos usar é:
b)
Agora, vamos para a parte (ii), onde precisamos calcular o zero com erro inferior a .

Passo 5

Vamos aplicar o Método do Ponto Fixo usando . Escolhemos um ponto inicial . Vamos escolher, por exemplo, .
O método funciona da seguinte forma:
Vamos iterar até que a diferença entre e seja menor que .

Passo 6

Iteração 1:
Erro: (maior que )
Iteração 2:
Erro: (maior que )
Iteração 3:
Erro: (maior que )
Iteração 4:
Erro: (menor que )

Resposta

O zero da função usando o Método do Ponto Fixo é aproximadamente .

Exercícios relacionados