(a) Qual ou quais dos métodos abaixo podem ser usados para determinar os zeros de ?
(i) Bisseç̧ão;
(ii) Newton;
(iii) Secante.
(b) Qual você escolheria para ter a convergência mais rápida?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema está relacionado com métodos numéricos para encontrar os zeros de uma função . Isso significa que queremos descobrir os valores de onde . Para isso, vamos explorar três métodos diferentes: Bissecção, Newton e Secante. Vamos precisar entender um pouquinho sobre cada um desses métodos para ver quais podem ser usados nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Método da Bissecção. Esse método é bem intuitivo e funciona da seguinte maneira: você escolhe um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema de Bolzano, que existe pelo menos um zero dentro desse intervalo. A bissecção então divide esse intervalo ao meio e escolhe o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, repetindo o processo até aproximar bastante do zero.
Dado que esse método requer apenas que a função mude de sinal no intervalo escolhido, ele pode sim ser usado para determinar os zeros de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o Método de Newton-Raphson. Esse método é mais rápido que a bissecção, mas precisa de uma informação extra: a derivada da função . A ideia é começar com uma estimativa inicial e, usando a derivada, refinar essa estimativa iterativamente com a fórmula:
Esse processo continua até que a sequência de converja para o zero desejado. Como precisamos da derivada de , esse método pode ser usado se essa derivada estiver disponível.

Passo 4

Por último, temos o Método da Secante. Esse método é parecido com o de Newton, mas em vez de usar a derivada, ele aproxima a derivada usando dois pontos próximos. A fórmula é:
Assim, não precisamos calcular a derivada explicitamente, o que pode ser útil se a derivada for difícil de obter. Portanto, o método da secante também pode ser usado para encontrar os zeros de .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) do exercício: Qual método escolher para ter a convergência mais rápida?
A taxa de convergência se refere à rapidez com que uma sequência de aproximações se aproxima do valor exato. O Método de Newton-Raphson tem uma convergência quadrática, o que significa que a precisão dobra a cada iteração quando estamos perto do zero. Já o Método da Secante tem uma convergência superlinear (aproximadamente 1,618), que é mais lenta que a quadrática, e a Bissecção tem uma convergência linear, ainda mais lenta.
Portanto, se o objetivo é ter a convergência mais rápida e a derivada de está disponível, o Método de Newton-Raphson é a melhor escolha.

Resposta

(a) Os métodos que podem ser usados para determinar os zeros de são:
çã
(b) Para ter a convergência mais rápida, eu escolheria o Método de Newton.

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Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de em . Determine também os pontos em que estes valores são atingidos.
(b) .
Esboce o gráfico das funções:
(f)

c)
Usando o Método de Newton e usando como valor arbitrário inicial teremos . É claro que não converge para . Como você explicaria o fato que neste caso o método não gera uma seqüência convergente?