(a) Qual ou quais dos métodos abaixo podem ser usados para determinar os zeros de
?
(i) Bisseç̧ão;
(ii) Newton;
(iii) Secante.
(b) Qual você escolheria para ter a convergência mais rápida?
(i) Bisseç̧ão;
(ii) Newton;
(iii) Secante.
(b) Qual você escolheria para ter a convergência mais rápida?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema está relacionado com métodos numéricos para encontrar os zeros de uma função
. Isso significa que queremos descobrir os valores de
onde
. Para isso, vamos explorar três métodos diferentes: Bissecção, Newton e Secante. Vamos precisar entender um pouquinho sobre cada um desses métodos para ver quais podem ser usados nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Método da Bissecção. Esse método é bem intuitivo e funciona da seguinte maneira: você escolhe um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Isso garante, pelo Teorema de Bolzano, que existe pelo menos um zero dentro desse intervalo. A bissecção então divide esse intervalo ao meio e escolhe o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, repetindo o processo até aproximar bastante do zero.
Dado que esse método requer apenas que a função mude de sinal no intervalo escolhido, ele pode sim ser usado para determinar os zeros de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o Método de Newton-Raphson. Esse método é mais rápido que a bissecção, mas precisa de uma informação extra: a derivada da função
. A ideia é começar com uma estimativa inicial
e, usando a derivada, refinar essa estimativa iterativamente com a fórmula:
Esse processo continua até que a sequência de
converja para o zero desejado. Como precisamos da derivada de
, esse método pode ser usado se essa derivada estiver disponível.
Passo 4
Por último, temos o Método da Secante. Esse método é parecido com o de Newton, mas em vez de usar a derivada, ele aproxima a derivada usando dois pontos próximos. A fórmula é:
Assim, não precisamos calcular a derivada explicitamente, o que pode ser útil se a derivada for difícil de obter. Portanto, o método da secante também pode ser usado para encontrar os zeros de
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b) do exercício: Qual método escolher para ter a convergência mais rápida?
A taxa de convergência se refere à rapidez com que uma sequência de aproximações se aproxima do valor exato. O Método de Newton-Raphson tem uma convergência quadrática, o que significa que a precisão dobra a cada iteração quando estamos perto do zero. Já o Método da Secante tem uma convergência superlinear (aproximadamente 1,618), que é mais lenta que a quadrática, e a Bissecção tem uma convergência linear, ainda mais lenta.
Portanto, se o objetivo é ter a convergência mais rápida e a derivada de
está disponível, o Método de Newton-Raphson é a melhor escolha.
Resposta
(a) Os métodos que podem ser usados para determinar os zeros de
são:
(b) Para ter a convergência mais rápida, eu escolheria o Método de Newton.
Exercícios relacionados
Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
. Determine também os pontos em que estes valores são atingidos.
(b) .
(b)
Esboce o gráfico das funções:
(f)
(f)
c)
Usando o Método de Newton e usando como valor arbitrário inicial
teremos
. É claro que
não converge para
. Como você explicaria o fato que neste caso o método não gera uma seqüência convergente?