Determine os focos e a excentricidade da hipérbole
.
Passo 1
Beleza! A gente tem uma hipérbole definida pela equação
. O conteúdo aqui envolve geometria analítica, especificamente o estudo das conicas, e vamos precisar entender como identificar os elementos principais da hipérbole, como os focos e a excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma padrão para uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos coordenados é:
No nosso caso, a equação é
. Vamos dividir ambos os lados por 144 para igualar a 1:
Assim, conseguimos a forma padrão com
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores de
e
:
Esses valores são importantes para encontrar os focos e a excentricidade.
Passo 4
A excentricidade (
) de uma hipérbole é dada por:
Vamos calcular:
Passo 5
Para encontrar os focos, usamos a relação:
Onde
é a distância dos focos ao centro da hipérbole. Vamos calcular:
Como a hipérbole está orientada no eixo
, os focos ficam nas posições
. Aqui,
e
, então:
Resposta
A hipérbole
tem os focos nos pontos
e
e uma excentricidade igual a
.