Determine os focos e a excentricidade da hipérbole 16 x^2-9 y^2=144.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma hipérbole definida pela equação . O conteúdo aqui envolve geometria analítica, especificamente o estudo das conicas, e vamos precisar entender como identificar os elementos principais da hipérbole, como os focos e a excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma padrão para uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos coordenados é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
No nosso caso, a equação é 16x^2144 - 9y^2144 = 1 Rightarrow x^29 - y^216 = 1 . Vamos dividir ambos os lados por 144 para igualar a 1:
Assim, conseguimos a forma padrão com e .

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de a = raiz9 = 3 e b = raiz16 = 4 e :
Esses valores são importantes para encontrar os focos e a excentricidade.

Passo 4

A excentricidade ( e = raiz1 + b^2a^2 ) de uma hipérbole é dada por:
e = raiz1 + 169 = raiz259 = 53
Vamos calcular:

Passo 5

Para encontrar os focos, usamos a relação:
c = a cdot e
Onde c = 3 cdot 53 = 5 é a distância dos focos ao centro da hipérbole. Vamos calcular:
Focos: (0 pm 5, 0) Rightarrow (5, 0) e (-5, 0)
Como a hipérbole está orientada no eixo , os focos ficam nas posições . Aqui, e , então:

Resposta

A hipérbole tem os focos nos pontos e e uma excentricidade igual a .

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