Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado nos dá a equação de uma elipse:
Vamos precisar entender a forma padrão da equação de uma elipse e usar algumas fórmulas matemáticas básicas para encontrar o centro, os eixos, a distância focal, os focos e a excentricidade dessa elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Na forma padrão da equação da elipse
,
é o centro.
No nosso caso, a equação é
, que pode ser vista como
.
Então, o centro da elipse é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os eixos maior e menor. Na equação padrão,
está no denominador do termo maior e
no menor.
Aqui,
, então:
O eixo maior tem comprimento
e o eixo menor tem comprimento
.
Passo 4
Vamos calcular agora a distância focal
. A relação entre
,
e
numa elipse é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Com a distância focal
, podemos encontrar as coordenadas dos focos. Como a elipse está centrada na origem e o eixo maior está ao longo do eixo
, os focos ficam em:
Então, os focos são
e
.
Passo 6
Por fim, vamos calcular a excentricidade
da elipse, que é uma medida de quão alongada ela é. A excentricidade é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
- Centro:
- Eixo maior: Comprimento
unidades - Eixo menor: Comprimento
unidades - Distância focal:
unidades - Focos:
e - Excentricidade: