Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
x^225+y^29=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! O enunciado nos dá a equação de uma elipse:
x^225+y^29=1
Vamos precisar entender a forma padrão da equação de uma elipse e usar algumas fórmulas matemáticas básicas para encontrar o centro, os eixos, a distância focal, os focos e a excentricidade dessa elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. Na forma padrão da equação da elipse , é o centro.
No nosso caso, a equação é , que pode ser vista como .
Então, o centro da elipse é .

Passo 3

Agora, vamos determinar os eixos maior e menor. Na equação padrão, a^2 = 25 Rightarrow a = raiz25 = 5 está no denominador do termo maior e b^2 = 9 Rightarrow b = raiz9 = 3 no menor.
Aqui, , então:
O eixo maior tem comprimento e o eixo menor tem comprimento .

Passo 4

Vamos calcular agora a distância focal c = raiza^2 - b^2 . A relação entre c = raiz25 - 9 = raiz16 = 4 , e numa elipse é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 5

Com a distância focal (pm c, 0) = (pm 4, 0) , podemos encontrar as coordenadas dos focos. Como a elipse está centrada na origem e o eixo maior está ao longo do eixo , os focos ficam em:
Então, os focos são e .

Passo 6

Por fim, vamos calcular a excentricidade e = ca da elipse, que é uma medida de quão alongada ela é. A excentricidade é dada por:
e = 45 = 0,8
Substituindo os valores:

Resposta

  • Centro:
  • Eixo maior: Comprimento unidades
  • Eixo menor: Comprimento unidades
  • Distância focal: unidades
  • Focos: e
  • Excentricidade:

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