Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir onde a reta , que é definida pelas equações paramétricas:
interseca o cilindro que é definido pela equação:
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a interseção entre uma reta e um cilindro. Para resolver isso, vamos precisar substituir as equações da reta na equação do cilindro e encontrar o valor do parâmetro .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a reta está interseccionando o cilindro . O cilindro é formado por todos os pontos que satisfazem , independente do valor de . Isso quer dizer que o cilindro tem raio 4 e está alinhado ao eixo .
Para encontrar os pontos de interseção, vamos substituir as expressões de e da reta na equação do cilindro.
Passo 3
Substituindo e na equação do cilindro:
Vamos expandir os termos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática resultante:
Subtraindo 16 de ambos os lados:
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde, , , e .
Então, temos duas soluções para :
Passo 5
Agora que temos os valores de , vamos encontrar os pontos de interseção substituindo esses valores nas equações da reta.