Onde a reta intersecta o cilindro definido por ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir onde a reta , que é definida pelas equações paramétricas:
interseca o cilindro que é definido pela equação:
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a interseção entre uma reta e um cilindro. Para resolver isso, vamos precisar substituir as equações da reta na equação do cilindro e encontrar o valor do parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a reta está interseccionando o cilindro . O cilindro é formado por todos os pontos que satisfazem , independente do valor de . Isso quer dizer que o cilindro tem raio 4 e está alinhado ao eixo .
Para encontrar os pontos de interseção, vamos substituir as expressões de e da reta na equação do cilindro.

Passo 3

Substituindo e na equação do cilindro:
Vamos expandir os termos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática resultante:
Subtraindo 16 de ambos os lados:
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde, , , e .
Então, temos duas soluções para :

Passo 5

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os pontos de interseção substituindo esses valores nas equações da reta.
Para :
Então, um ponto de interseção é .
Para :
Então, o outro ponto de interseção é .

Resposta

A reta intersecta o cilindro nos pontos e .

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(UFPA-1990) Rogério viveu de sua vida em Recife. na Bahia e depois mudou-se para Belém onde viveu os 10 seus últimos anos. Rogério tinha então quantos anos?
a) 54anos
b) 60 anos
c) 62 anos
d) 64 anos
e) 70 anos
Determine o centro, os focos e os vértices da elipse de interseç̧ão do elipsóide com o plano .
(a) ;
(b) .
Dados e , determine:
Faça um esboço dos seguintes planos:
(a)
(b)
© .