Onde a reta intersecta o cilindro definido por C: x^2+y^2=16 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir onde a reta x = 1 + t y = 3 - t z = 2t , que é definida pelas equações paramétricas:
x^2 + y^2 = 16
interseca o cilindro que é definido pela equação:
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com a interseção entre uma reta e um cilindro. Para resolver isso, vamos precisar substituir as equações da reta na equação do cilindro e encontrar o valor do parâmetro .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a reta está interseccionando o cilindro . O cilindro é formado por todos os pontos que satisfazem , independente do valor de . Isso quer dizer que o cilindro tem raio 4 e está alinhado ao eixo .
Para encontrar os pontos de interseção, vamos substituir as expressões de e da reta na equação do cilindro.
Passo 3
Substituindo (1 + t)^2 + (3 - t)^2 = 16 e (1 + 2t + t^2) + (9 - 6t + t^2) = 16 na equação do cilindro:
1 + 2t + t^2 + 9 - 6t + t^2 = 16
Vamos expandir os termos:
2t^2 - 4t + 10 = 16
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática resultante:
2t^2 - 4t + 10 = 16
Subtraindo 16 de ambos os lados:
2t^2 - 4t - 6 = 0
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
t^2 - 2t - 3 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde, t = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42 , t = 2 + 42 = 3 e t = 2 - 42 = -1 , e .
Então, temos duas soluções para :
Passo 5
Agora que temos os valores de x = 1 + 3 = 4 y = 3 - 3 = 0 z = 2 cdot 3 = 6 , vamos encontrar os pontos de interseção substituindo esses valores nas equações da reta.
Para x = 1 + (-1) = 0 y = 3 - (-1) = 4 z = 2 cdot (-1) = -2 :