Determine o centro de massa de uma casca delgada hemisférica e homogênia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centro de massa de uma casca delgada hemisférica homogênea. Aqui, estamos lidando com conceitos de física e cálculo, especialmente no estudo de centros de massa e integrais. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre coordenadas esféricas e como calcular o centro de massa usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma casca delgada hemisférica homogênea. Imagine uma metade de uma casca esférica, como a metade de uma bolinha de futebol, onde a densidade de massa é a mesma em todos os pontos. Nosso objetivo é encontrar o ponto onde esse objeto poderia ser equilibrado, ou seja, o centro de massa.

Passo 3

Devido à simetria da casca hemisférica, sabemos que o centro de massa estará ao longo do eixo vertical (vamos chamar de eixo z). Portanto, só precisamos encontrar a coordenada desse ponto.

Passo 4

Para encontrar barz = 1M integral z , dm , usamos a fórmula do centro de massa para distribuições contínuas:
Onde:
  • é a massa total da casca.
  • é a coordenada vertical de cada elemento de massa .

Passo 5

Como a casca é homogênea, a massa é distribuída uniformemente. Podemos expressar dm = sigma , dA = sigma , R^2 sintheta , dtheta , dphi em termos da área diferencial em coordenadas esféricas. Usando como o ângulo polar, temos:
Onde:
  • é a densidade superficial.
  • é o raio da casca.
  • é o elemento de área.

Passo 6

A massa total M = sigma cdot 2pi R^2 da casca é:
Porque a área de uma esfera inteira é , e como é uma metade, fica .

Passo 7

Voltando à fórmula do centro de massa:
barz = 1M integral z , dm = 1M integral R costheta cdot sigma R^2 sintheta , dtheta , dphi
Aqui, é a coordenada vertical.

Passo 8

Integrando em relação a barz = sigma R^3M integral0^2pi dphi integral0^pi/2 costheta sintheta , dtheta de 0 a e de 0 a , temos:

Passo 9

Resolvendo as integrais:
integral0^2pi dphi = 2pi
integral0^pi/2 costheta sintheta , dtheta = 12

Passo 10

Substituindo de volta:
barz = sigma R^3M cdot 2pi cdot 12 = sigma R^3 piM
Como barz = sigma R^3 pisigma cdot 2pi R^2 = R2 , podemos substituir:

Resposta

O centro de massa da casca delgada hemisférica homogênea está localizado a uma altura de acima da base.

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