Determine o centro de massa de uma casca delgada hemisférica e homogênia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centro de massa de uma casca delgada hemisférica homogênea. Aqui, estamos lidando com conceitos de física e cálculo, especialmente no estudo de centros de massa e integrais. Para resolver, vamos precisar conhecer um pouco sobre coordenadas esféricas e como calcular o centro de massa usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma casca delgada hemisférica homogênea. Imagine uma metade de uma casca esférica, como a metade de uma bolinha de futebol, onde a densidade de massa é a mesma em todos os pontos. Nosso objetivo é encontrar o ponto onde esse objeto poderia ser equilibrado, ou seja, o centro de massa.
Passo 3
Devido à simetria da casca hemisférica, sabemos que o centro de massa estará ao longo do eixo vertical (vamos chamar de eixo z). Portanto, só precisamos encontrar a coordenada
desse ponto.
Passo 4
Para encontrar
, usamos a fórmula do centro de massa para distribuições contínuas:
Onde:
-
é a massa total da casca. -
é a coordenada vertical de cada elemento de massa .
Passo 5
Como a casca é homogênea, a massa é distribuída uniformemente. Podemos expressar
em termos da área diferencial em coordenadas esféricas. Usando
como o ângulo polar, temos:
Onde:
-
é a densidade superficial. -
é o raio da casca. -
é o elemento de área.
Passo 6
A massa total
da casca é:
Porque a área de uma esfera inteira é
, e como é uma metade, fica
.
Passo 7
Voltando à fórmula do centro de massa:
Aqui,
é a coordenada vertical.
Passo 8
Integrando em relação a
de 0 a
e
de 0 a
, temos:
Passo 9
Resolvendo as integrais:
Passo 10
Substituindo de volta:
Como
, podemos substituir:
Resposta
O centro de massa da casca delgada hemisférica homogênea está localizado a uma altura de
acima da base.