(Valor: 2,5) Um carro está se movendo em uma pista circular de 200 m de raio. Sua velocidade aumenta na razão constante de 0,5 m / s^2. a) Qual o módulo da sua aceleração linear resultante, depois de 15 s? b) Que ângulo o vetor aceleração resultante faz com o vetor velocidade do carro nesse instante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que um carro está se movendo em uma pista circular com raio de 200 metros e que sua velocidade está aumentando de forma constante a uma taxa de . A gente vai usar conceitos de cinemática para movimentos circulares, especificamente as acelerations tangencial e centrípeta, e um pouco de trigonometria para encontrar o ângulo entre os vetores. Vamos resolver as duas partes do exercício passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aceleração tangencial ( ). Essa aceleração é a que está dando aumentando a velocidade do carro de forma constante. Segundo o enunciado, . Isso já é dado, então não precisamos calcular nada aqui.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração centrípeta ( ac = v^2r ). Essa aceleração é responsável por manter o carro na trajetória circular e é calculada pela fórmula:
Onde:
  • é a velocidade do carro
  • é o raio da trajetória
Mas como a velocidade está aumentando, precisamos primeiro encontrar a velocidade do carro após 15 segundos.

Passo 4

A velocidade v = at times t após um tempo v = 0,5 , m/s^2 times 15 , s = 7,5 , m/s pode ser encontrada usando a fórmula da velocidade em movimento com aceleração constante:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que temos a velocidade, vamos calcular a aceleração centrípeta:
ac = v^2r = (7,5 , m/s)^2200 , m = 56,25 , m^2/s^2200 , m = 0,28125 , m/s^2

Passo 6

Com as duas acelerações conhecidas ( a = raizat^2 + ac^2 = raiz(0,5)^2 + (0,28125)^2 = raiz0,25 + 0,0791 = raiz0,3291 approx 0,573 , m/s^2 e ), podemos encontrar a aceleração resultante ( ). Como as acelerações são perpendiculares (a tangencial ao movimento e a centrípeta para o centro), usamos o teorema de Pitágoras:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o ângulo ( tan(theta) = acat = 0,281250,5 = 0,5625 ) que a aceleração resultante faz com o vetor velocidade. Para isso, usamos a função tangente:
theta = arctan(0,5625) approx 29,4^circ
Aplicando a função arco tangente:

Resposta

a) O módulo da aceleração linear resultante depois de 15 segundos é aproximadamente .
b) O vetor aceleração resultante forma um ângulo de aproximadamente com o vetor velocidade do carro nesse instante.

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