Sejam
e
subconjuntos do
.
a) (1,5 pontos) Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
, sendo que para pelo menos um deles você deve mostrar usando a definição.
a) (1,5 pontos) Mostre que
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que os conjuntos
e
são subespaços vetoriais de
. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente o que define um subespaço vetorial. Pra isso, vamos precisar entender que um subespaço precisa conter o vetor zero, ser fechado pra adição de vetores e pra multiplicação por escalar. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é um subespaço de
usando a definição. O conjunto
é formado por todos os vetores da forma
.
Verificando o vetor zero:
O vetor está em
porque
.
O vetor
Fechado sob adição:
Se pegar dois vetores quaisquer em , digamos
e
, a soma deles é
, que também está em
porque a terceira coordenada continua zero.
Se pegar dois vetores quaisquer em
Fechado sob multiplicação por escalar:
Se multiplicar qualquer vetor de
por um escalar
, fica
, que ainda está em
.
Se multiplicar qualquer vetor
Como
satisfaz todas as condições da definição de subespaço, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. O conjunto
é formado por todos os vetores que satisfazem
. Para mostrar que
é um subespaço, vamos também verificar as três condições.
Verificando o vetor zero:
O vetor está em
porque
.
O vetor
Fechado sob adição:
Pegando dois vetores em , digamos
e
, a soma é
. Isso simplifica para
, que também satisfaz
.
Pegando dois vetores em
Fechado sob multiplicação por escalar:
Multiplicando um vetor por um escalar
, fica
, que também satisfaz
, pois
.
Multiplicando um vetor
Como
também atende a todas as condições necessárias, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Resposta
Tanto
quanto
são subespaços vetoriais de
, conforme demonstrado.
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