Sejam e subconjuntos do .
a) (1,5 pontos) Mostre que e são subespaços vetoriais de , sendo que para pelo menos um deles você deve mostrar usando a definição.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente mostrar que os conjuntos e são subespaços vetoriais de . A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente o que define um subespaço vetorial. Pra isso, vamos precisar entender que um subespaço precisa conter o vetor zero, ser fechado pra adição de vetores e pra multiplicação por escalar. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é um subespaço de usando a definição. O conjunto é formado por todos os vetores da forma .
Verificando o vetor zero:
O vetor está em porque .
Fechado sob adição:
Se pegar dois vetores quaisquer em , digamos e , a soma deles é , que também está em porque a terceira coordenada continua zero.
Fechado sob multiplicação por escalar:
Se multiplicar qualquer vetor de por um escalar , fica , que ainda está em .
Como satisfaz todas as condições da definição de subespaço, concluímos que é um subespaço vetorial de .

Passo 3

Agora, vamos analisar . O conjunto é formado por todos os vetores que satisfazem . Para mostrar que é um subespaço, vamos também verificar as três condições.
Verificando o vetor zero:
O vetor está em porque .
Fechado sob adição:
Pegando dois vetores em , digamos e , a soma é . Isso simplifica para , que também satisfaz .
Fechado sob multiplicação por escalar:
Multiplicando um vetor por um escalar , fica , que também satisfaz , pois .
Como também atende a todas as condições necessárias, concluímos que é um subespaço vetorial de .

Resposta

Tanto quanto são subespaços vetoriais de , conforme demonstrado.

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