Determine o centro e o raio de cada circunferência.
2 x^2+2 y^2-6 x-4 y-3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o centro e o raio de uma circunferência. A matéria que vamos usar aqui é a Geometria Analítica, especificamente a parte que trata das equações das circunferências. Para resolver, vamos precisar transformar a equação geral da circunferência para a forma padrão, o que envolve completar o quadrado nos termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação que nos foi dada:
2x^2 + 2y^2 - 6x - 4y - 3 = 0
Como os coeficientes de 2x^22 + 2y^22 - 6x2 - 4y2 - 32 = 0 e x^2 + y^2 - 3x - 2y - 32 = 0 são iguais, podemos dividir toda a equação por 2 para facilitar:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para preparar para completar o quadrado:
x^2 - 3x + y^2 - 2y = 32
Nos termos de e , vamos completar o quadrado separadamente.

Passo 4

Para o termo de (-32)^2 = 94:
  1. Pegue o coeficiente de x^2 - 3x + 94 - 94 + y^2 - 2y = 32, que é -3, divida por 2 e eleve ao quadrado:
  1. Adicione e subtraia esse valor na equação:

Passo 5

Para o termo de (-22)^2 = 1:
  1. Pegue o coeficiente de x^2 - 3x + 94 + y^2 - 2y + 1 - 1 = 32, que é -2, divida por 2 e eleve ao quadrado:
  1. Adicione e subtraia esse valor na equação:

Passo 6

Agora, reescrevemos a equação agrupando os termos completos:
(x^2 - 3x + 94) + (y^2 - 2y + 1) = 32 + 94 + 1
Isso fica:
(x - 32)^2 + (y - 1)^2 = 32 + 94 + 1

Passo 7

Vamos somar os termos do lado direito:
32 = 64
Então:
64 + 94 + 44 = 194
Portanto:
(x - 32)^2 + (y - 1)^2 = 194

Resposta

O centro da circunferência é e o raio é .

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