Determine quais dos conjuntos abaixo são L.I. e quais são L.D. Justifique tudo com seus cálculos. .

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de três vetores no espaço de cinco dimensões: . A pergunta é pra saber se esses vetores são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa L.I. e L.D. e verificar se tem alguma combinação linear dos vetores que dê o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Dá pra combinar os vetores multiplicando cada um por um escalar e somando tudo. Se a única combinação que dá o vetor nulo é quando todos os escalares são zero, então os vetores são Linearmente Independentes. Se existir alguma combinação onde pelo menos um escalar não é zero que satisfaz essa igualdade, então os vetores são Linearmente Dependentes.

Passo 3

Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
Simplificando, temos:
Isso gera o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. A segunda equação pode ser simplificada dividindo por 2:
Já temos da primeira equação:
Subtraindo a segunda da primeira:
Substituindo na segunda equação:
E a terceira equação:
E assim por diante para as outras equações, todas confirmam que . Mas lembre-se que o vetor zero já está no conjunto, o que automaticamente faz o conjunto ser Linearmente Dependente.

Resposta

O conjunto é Linearmente Dependente (L.D.) porque inclui o vetor nulo, o que garante que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.

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Resolva os sistemas a seguir, utilizando a regra de cramer.
Encontre, parametrize, se possível, e apresente como conjunto solução de sistemas lineares, as interseções entre:
Os planos e .
Sejam , dados por
Mostre que o conjunto , onde
para , é linearmente independente.
Determine o centro e o raio de cada circunferência.