Determine quais dos conjuntos abaixo são L.I. e quais são L.D. Justifique tudo com seus cálculos. (1,2,3,4,5),(0,0,0,0,0),(5,4,3,2,1).

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de três vetores no espaço de cinco dimensões: (1,2,3,4,5), (0,0,0,0,0), (5,4,3,2,1). A pergunta é pra saber se esses vetores são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa L.I. e L.D. e verificar se tem alguma combinação linear dos vetores que dê o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Dá pra combinar os vetores multiplicando cada um por um escalar e somando tudo. Se a única combinação que dá o vetor nulo é quando todos os escalares são zero, então os vetores são Linearmente Independentes. Se existir alguma combinação onde pelo menos um escalar não é zero que satisfaz essa igualdade, então os vetores são Linearmente Dependentes.

Passo 3

Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
c1(1,2,3,4,5) + c2(0,0,0,0,0) + c3(5,4,3,2,1) = (0,0,0,0,0)
Simplificando, temos:
(c1 + 5c3, 2c1 + 4c3, 3c1 + 3c3, 4c1 + 2c3, 5c1 + c3) = (0,0,0,0,0)
Isso gera o sistema de equações:
c1 + 5c3 = 0 2c1 + 4c3 = 0 3c1 + 3c3 = 0 4c1 + 2c3 = 0 5c1 + c3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. A segunda equação pode ser simplificada dividindo por 2:
c1 + 2c3 = 0
Já temos da primeira equação:
c1 + 5c3 = 0
Subtraindo a segunda da primeira:
( c1 + 5c3 ) - ( c1 + 2c3 ) = 0 3c3 = 0 c3 = 0
Substituindo c3 = 0 na segunda equação:
c1 + 2(0) = 0 c1 = 0
E a terceira equação:
3(0) + 3(0) = 0 0 = 0
E assim por diante para as outras equações, todas confirmam que c1 = c3 = 0. Mas lembre-se que o vetor zero (0,0,0,0,0) já está no conjunto, o que automaticamente faz o conjunto ser Linearmente Dependente.

Resposta

O conjunto (1,2,3,4,5), (0,0,0,0,0), (5,4,3,2,1) é Linearmente Dependente (L.D.) porque inclui o vetor nulo, o que garante que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.

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