Determine quais dos conjuntos abaixo são L.I. e quais são L.D. Justifique tudo com seus cálculos. .
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto de três vetores no espaço de cinco dimensões: . A pergunta é pra saber se esses vetores são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa L.I. e L.D. e verificar se tem alguma combinação linear dos vetores que dê o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Dá pra combinar os vetores multiplicando cada um por um escalar e somando tudo. Se a única combinação que dá o vetor nulo é quando todos os escalares são zero, então os vetores são Linearmente Independentes. Se existir alguma combinação onde pelo menos um escalar não é zero que satisfaz essa igualdade, então os vetores são Linearmente Dependentes.
Passo 3
Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
Simplificando, temos:
Isso gera o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. A segunda equação pode ser simplificada dividindo por 2:
c1 + 2c3 = 0
Já temos da primeira equação:
c1 + 5c3 = 0
Subtraindo a segunda da primeira:
( c1 + 5c3 ) - ( c1 + 2c3 ) = 0 3c3 = 0 c3 = 0
Substituindo c3 = 0 na segunda equação:
c1 + 2(0) = 0 c1 = 0
E a terceira equação:
3(0) + 3(0) = 0 0 = 0
E assim por diante para as outras equações, todas confirmam que c1 = c3 = 0. Mas lembre-se que o vetor zero (0,0,0,0,0) já está no conjunto, o que automaticamente faz o conjunto ser Linearmente Dependente.
Resposta
O conjunto (1,2,3,4,5), (0,0,0,0,0), (5,4,3,2,1) é Linearmente Dependente (L.D.) porque inclui o vetor nulo, o que garante que existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero.