Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
r: x-2=0 e lambda: 4 x^2+4 y^2-25=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente descobrir a posição relativa entre uma reta e uma circunferência. A matéria aqui é Geometria Analítica. A gente vai precisar identificar o centro e o raio da circunferência, além de calcular a distância entre o centro dessa circunferência e a reta dada.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência na forma padrão. A equação que a gente tem é:
4x^2 + 4y^2 - 25 = 0
Para facilitar, vamos dividir todos os termos por 4:
x^2 + y^2 = 254
Agora, está na forma padrão da circunferência:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde é o centro e é o raio.

Passo 3

Comparando com a forma padrão, vemos que:
  • O centro é porque não temos termos de ou deslocados.
  • O raio é .

Passo 4

Agora, vamos analisar a reta dada:
x - 2 = 0 ou seja, x = 2
Essa é uma reta vertical passando pelo ponto .

Passo 5

O próximo passo é calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta. A fórmula para a distância d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 entre um ponto 1x + 0y - 2 = 0 e uma reta é:
No nosso caso, a reta pode ser escrita como:
Então, , , , e o ponto é .

Passo 6

Aplicando a fórmula:
d = |1 cdot 0 + 0 cdot 0 - 2|raiz1^2 + 0^2 = 21 = 2

Passo 7

Agora, comparamos a distância com o raio :
  • Se , a reta corta a circunferência.
  • Se , a reta é tangente à circunferência.
  • Se , a reta não toca a circunferência.
Como , a reta corta a circunferência.

Resposta

A reta corta a circunferência em dois pontos.

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