Obtenha k, com k in I R, de modo que o ponto P(k+2, 1) pertença à circunferência de equação x^2+y^2-8 x+14=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o valor de tal que o ponto esteja na circunferência dada pela equação . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com as equações de circunferências. Vamos precisar usar a condição de que um ponto pertence a uma circunferência para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a circunferência que estamos falando. A equação geral da circunferência é . Para facilitar, vamos completar o quadrado e colocar a equação na forma padrão, que é , onde é o centro e é o raio.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação dada:
x^2 + y^2 - 8x + 14 = 0
Agora, vamos completar o quadrado para o termo de x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16 :
(x - 4)^2 - 16 + y^2 + 14 = 0
Substituindo de volta na equação:
(x - 4)^2 + y^2 - 2 = 0
Simplificando:
(x - 4)^2 + y^2 = 2
Então:
Agora, temos a forma padrão da circunferência com centro em e raio .

Passo 4

Sabemos que o ponto ( (k+2) - 4 )^2 + (1)^2 = 2 deve estar nessa circunferência. Para isso, vamos substituir as coordenadas de (k - 2)^2 + 1 = 2 na equação da circunferência e resolver para :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para (k - 2)^2 = 2 - 1 :
(k - 2)^2 = 1
k - 2 = pm 1
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 6

Finalmente, isolamos k = 2 pm 1 :
k = 3
Então, temos duas soluções:
k = 1
ou

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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