Vamos começar entendendo o enunciado. Temos os vetores da base padrão no espaço . O exercício define novos vetores para cada . Nosso objetivo é mostrar que o conjunto desses novos vetores é linearmente independente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
implica que .
Passo 3
Vamos supor que existe uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor zero:
Substituindo , temos:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar essa soma agrupando os coeficientes de cada vetor :
Passo 5
Como os vetores são da base canônica e são linearmente independentes, isso significa que cada coeficiente na frente de deve ser igual a zero. Ou seja:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações começando pela última. Sabemos que . Substituindo na equação anterior, temos , então . Continuando esse processo, percebemos que todos os coeficientes devem ser zero.