Sejam ei in R^n, i=1, ldots, n, dados por
rcc e1 & = & (1,0,0, ldots, 0,0) e2 & = & (0,1,0, ldots, 0,0) vdots & vdots en-1 & = & (0,0,0, ldots, 1,0) en & = & (0,0,0, ldots, 0,1)
Mostre que o conjunto v1, v2, ldots, vn, onde
vk=e1+cdots+ek
para k=1, ldots, n, é linearmente independente.

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos os vetores da base padrão no espaço . O exercício define novos vetores para cada . Nosso objetivo é mostrar que o conjunto desses novos vetores é linearmente independente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores c1 v1 + c2 v2 + cdots + cn vn = 0 é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
implica que .

Passo 3

Vamos supor que existe uma combinação linear dos vetores c1 v1 + c2 v2 + cdots + cn vn = 0 que resulta no vetor zero:
c1 (e1) + c2 (e1 + e2) + cdots + cn (e1 + e2 + cdots + en) = 0
Substituindo , temos:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar essa soma agrupando os coeficientes de cada vetor (c1 + c2 + cdots + cn) e1 + (c2 + c3 + cdots + cn) e2 + cdots + cn en = 0 :

Passo 5

Como os vetores c1 + c2 + cdots + cn = 0 c2 + c3 + cdots + cn = 0 vdots cn = 0 são da base canônica e são linearmente independentes, isso significa que cada coeficiente na frente de deve ser igual a zero. Ou seja:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações começando pela última. Sabemos que . Substituindo na equação anterior, temos , então . Continuando esse processo, percebemos que todos os coeficientes devem ser zero.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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