Determine o centro e o raio dos círculos cujas equações são:
& mathscrC1: x^2+y^2=2 x+4 y e & mathscrC2: x^2+y^2=4 y-8 x
Verifique que os círculos intersectam-se e ache as coordenadas dos pontos de interseção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio de dois círculos cujas equações são dadas. Depois, vamos verificar se esses círculos se interceptam e, se sim, encontrar os pontos de interseção. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações dos círculos para a forma padrão da equação de um círculo, que é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde é o centro e é o raio.

Passo 3

Começamos com a equação do primeiro círculo x^2 + y^2 = 2x + 4y :
Vamos reorganizar os termos para completar o quadrado.

Passo 4

Rearranjando a equação:
x^2 - 2x + y^2 - 4y = 0
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis e .

Passo 5

Completar o quadrado para :
  • Tomamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2, obtendo , e elevamos ao quadrado: .
Completar o quadrado para :
  • Tomamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2, obtendo , e elevamos ao quadrado: .

Passo 6

Adicionamos e subtraímos esses valores na equação:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 1 + 4
Simplificando:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5
Então, o centro de é e o raio é .

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para a equação do segundo círculo x^2 + y^2 = 4y - 8x :
x^2 + 8x + y^2 - 4y = 0
Reorganizando:

Passo 8

Completando o quadrado para :
  • Coeficiente de é 8, metade é 4, e .
Para :
  • Coeficiente de é , metade é , e .

Passo 9

Adicionamos e subtraímos esses valores:
x^2 + 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = 16 + 4
Simplificando:
(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 20
Então, o centro de é e o raio é .

Passo 10

Para verificar se os círculos se intersectam, vamos calcular a distância entre os centros e comparar com a soma e a diferença dos raios.
Centro de d = raiz(1 - (-4))^2 + (2 - 2)^2 = raiz5^2 + 0 = 5 :
Centro de :
A distância entre os centros é:
Soma dos raios:
Diferença dos raios:
Como , os círculos se intersectam em dois pontos.

Passo 11

Para encontrar os pontos de interseção, resolvemos o sistema de equações das duas circunferências:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 20
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x + 4)^2 - (x - 1)^2 = 15
Expandindo:
(x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 2x + 1) = 15 x^2 + 8x + 16 - x^2 + 2x - 1 = 15 10x + 15 = 15 10x = 0 x = 0
Substituindo (0 - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 1 + (y - 2)^2 = 5 (y - 2)^2 = 4 y - 2 = pm 2 y = 4 ou y = 0 na primeira equação:

Resposta

Os círculos se intersectam nos pontos e .

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