Qual o valor de a (a > 1) para que a região sob o gráfico de y = 1/x, entre x = 1 e x = a tenha área igual a 5 u.a.?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de (com ) de forma que a área sob o gráfico da função , entre e , seja igual a 5 unidades de área. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área sob a curva entre dois pontos e é dada pela integral definida dessa função nesse intervalo. Então, a gente tem:

Passo 3

Agora, precisamos calcular essa integral. A antiderivada de é , então:
Sabemos que , então simplificando:

Passo 4

Queremos que essa área seja igual a 5, então configuramos a equação:

Passo 5

Agora, para encontrar , precisamos resolver a equação . Isso significa que é o número que, quando aplicamos o logaritmo natural, dá 5. Matematicamente, isso é equivalente a:

Resposta

O valor de é , que aproximadamente é igual a 148.413.

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