Seja a cônica C dada pela equação 4 x y-3 y^2+x=0. Utilize o indicador da equação do segundo grau para identificar a cônica C.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria analítica que fala sobre cônicas, aquelas curvas como circunferências, elipses, parábolas e hipérbolas. A gente precisa olhar para a equação dada, que é 4xy - 3y^2 + x = 0, e usar algo chamado indicador da equação do segundo grau para descobrir que tipo de cônica estamos lidando aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para identificar os coeficientes que precisamos. A forma geral da equação do segundo grau é:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Nosso objetivo é achar os valores de A, B e C nessa equação.

Passo 3

Vamos comparar a nossa equação com a forma geral:
4xy - 3y^2 + x = 0
Podemos reescrever isso como:
0x^2 + 4xy - 3y^2 + 1x + 0y + 0 = 0
Então, identificamos os coeficientes:
  • A = 0
  • B = 4
  • C = -3

Passo 4

Agora, vamos calcular o indicador da equação do segundo grau, que é dado por:
De
Substituindo os valores que encontramos:
De

Passo 5

Com o valor de De, podemos identificar a cônica:
  • Se De 0, é uma hipérbole.
  • Se De, é uma parábola.
  • Se De, é uma elipse (ou círculo, se A = C e B = 0).
No nosso caso, De, que é maior que zero. Então, a cônica dada é uma hipérbole.

Resposta

A cônica C é uma hipérbole.

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