Suponha que o polinômio característico de alguma matriz A seja p(lambda)=(lambda-1)^2(lambda-2)^2(lambda-3)^4. Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio. (b) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços sabendo que A é diagonalizável?

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz cujo polinômio característico é . A pergunta aqui é: o que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços sabendo que é diagonalizável? Para resolver isso, vamos falar sobre conceitos de autovalores, autoespaços e o que significa uma matriz ser diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os autovalores de uma matriz são os valores que satisfazem a equação . No nosso caso, os autovalores são 1, 2 e 3, com multiplicidades algébricas iguais a 2, 2 e 4, respectivamente. A multiplicidade algébrica é o número de vezes que cada autovalor aparece no polinômio característico.

Passo 3

Agora, o autoespaço associado a um autovalor é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . A dimensão do autoespaço é chamada de multiplicidade geométrica do autovalor.

Passo 4

Uma matriz é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas de todos os seus autovalores for igual à dimensão da matriz. Isso acontece quando, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à sua multiplicidade algébrica.

Passo 5

Como é diagonalizável, sabemos que para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica. Então:
  • Para , a multiplicidade algébrica é 2, então a dimensão do autoespaço é 2.
  • Para , a multiplicidade algébrica é 2, então a dimensão do autoespaço é 2.
  • Para , a multiplicidade algébrica é 4, então a dimensão do autoespaço é 4.

Resposta

As dimensões dos autoespaços são 2 para o autovalor 1, 2 para o autovalor 2 e 4 para o autovalor 3.

Exercícios relacionados