Suponha que o polinômio característico de alguma matriz
seja
. Em cada parte, responda a pergunta e explique seu raciocínio. (b) O que pode ser dito sobre as dimensões dos autoespaços sabendo que
é diagonalizável?
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz
cujo polinômio característico é
. A pergunta aqui é: o que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços sabendo que
é diagonalizável? Para resolver isso, vamos falar sobre conceitos de autovalores, autoespaços e o que significa uma matriz ser diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os autovalores de uma matriz são os valores
que satisfazem a equação
. No nosso caso, os autovalores são 1, 2 e 3, com multiplicidades algébricas iguais a 2, 2 e 4, respectivamente. A multiplicidade algébrica é o número de vezes que cada autovalor aparece no polinômio característico.
Passo 3
Agora, o autoespaço associado a um autovalor
é o conjunto de todos os vetores
que satisfazem
. A dimensão do autoespaço é chamada de multiplicidade geométrica do autovalor.
Passo 4
Uma matriz
é diagonalizável se, e somente se, a soma das multiplicidades geométricas de todos os seus autovalores for igual à dimensão da matriz. Isso acontece quando, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à sua multiplicidade algébrica.
Passo 5
Como
é diagonalizável, sabemos que para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica. Então:
- Para
, a multiplicidade algébrica é 2, então a dimensão do autoespaço é 2. - Para
, a multiplicidade algébrica é 2, então a dimensão do autoespaço é 2. - Para
, a multiplicidade algébrica é 4, então a dimensão do autoespaço é 4.
Resposta
As dimensões dos autoespaços são 2 para o autovalor 1, 2 para o autovalor 2 e 4 para o autovalor 3.