Determine o círculo de centro e que passa pelo o foco da parábola . Além disso, mostre que a diretriz da parábola é tangente ao círculo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um círculo que tem o centro em e passa pelo foco da parábola . Além disso, vamos mostrar que a diretriz dessa parábola é tangente a esse círculo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação do círculo, propriedades das parábolas e cálculo de distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o foco e a diretriz da parábola . A equação geral de uma parábola com a orientação para baixo é , onde é a distância do vértice ao foco. No nosso caso, comparando com , vemos que , então .
Passo 3
Com o valor de encontrado, podemos determinar o foco da parábola. Como a parábola está orientada para baixo, o foco está unidades abaixo do vértice (que é na origem ). Então, o foco é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a equação do círculo. Sabemos que o centro do círculo é e que ele passa pelo ponto , que é o foco da parábola. Para encontrar o raio do círculo, usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Passo 5
Com o centro e o raio , a equação do círculo é:
Passo 6
Agora, vamos mostrar que a diretriz da parábola é tangente ao círculo. A diretriz de uma parábola está dada por . No nosso caso, com , a diretriz é:
Para verificar se essa reta é tangente ao círculo, calculamos a distância do centro do círculo até a diretriz e comparamos com o raio.
A distância de um ponto até uma reta é dada por:
Substituindo os valores:
Como a distância é igual ao raio do círculo, a diretriz é realmente tangente ao círculo.
Resposta
A equação do círculo é e a diretriz da parábola é tangente a esse círculo.