Determine o círculo de centro (4,-1) e que passa pelo o foco da parábola x^2=-16 y. Além disso, mostre que a diretriz da parábola é tangente ao círculo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um círculo que tem o centro em e passa pelo foco da parábola . Além disso, vamos mostrar que a diretriz dessa parábola é tangente a esse círculo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação do círculo, propriedades das parábolas e cálculo de distâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o foco e a diretriz da parábola . A equação geral de uma parábola com a orientação para baixo é , onde é a distância do vértice ao foco. No nosso caso, comparando com , vemos que , então .

Passo 3

Com o valor de encontrado, podemos determinar o foco da parábola. Como a parábola está orientada para baixo, o foco está unidades abaixo do vértice (que é na origem ). Então, o foco é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a equação do círculo. Sabemos que o centro do círculo é r = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e que ele passa pelo ponto r = raiz(0 - 4)^2 + (-4 - (-1))^2 = raiz(-4)^2 + (-3)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5 , que é o foco da parábola. Para encontrar o raio do círculo, usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:

Passo 5

Com o centro (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 25 e o raio , a equação do círculo é:

Passo 6

Agora, vamos mostrar que a diretriz da parábola é tangente ao círculo. A diretriz de uma parábola y = 4 está dada por d = |y0 - c| . No nosso caso, com d = |-1 - 4| = |-5| = 5 , a diretriz é:
Para verificar se essa reta é tangente ao círculo, calculamos a distância do centro do círculo até a diretriz e comparamos com o raio.
A distância de um ponto até uma reta é dada por:
Substituindo os valores:
Como a distância é igual ao raio do círculo, a diretriz é realmente tangente ao círculo.

Resposta

A equação do círculo é e a diretriz da parábola é tangente a esse círculo.

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