Determine o círculo de centro
e que passa pelo o foco da parábola
. Além disso, mostre que a diretriz da parábola é tangente ao círculo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um círculo que tem o centro em
e passa pelo foco da parábola
. Além disso, vamos mostrar que a diretriz dessa parábola é tangente a esse círculo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação do círculo, propriedades das parábolas e cálculo de distâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o foco e a diretriz da parábola
. A equação geral de uma parábola com a orientação para baixo é
, onde
é a distância do vértice ao foco. No nosso caso, comparando com
, vemos que
, então
.
Passo 3
Com o valor de
encontrado, podemos determinar o foco da parábola. Como a parábola está orientada para baixo, o foco está
unidades abaixo do vértice (que é na origem
). Então, o foco é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a equação do círculo. Sabemos que o centro do círculo é
e que ele passa pelo ponto
, que é o foco da parábola. Para encontrar o raio
do círculo, usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Passo 5
Com o centro
e o raio
, a equação do círculo é:
Passo 6
Agora, vamos mostrar que a diretriz da parábola é tangente ao círculo. A diretriz de uma parábola
está dada por
. No nosso caso, com
, a diretriz é:
Para verificar se essa reta é tangente ao círculo, calculamos a distância do centro do círculo até a diretriz e comparamos com o raio.
A distância
de um ponto
até uma reta
é dada por:
Substituindo os valores:
Como a distância
é igual ao raio do círculo, a diretriz é realmente tangente ao círculo.
Resposta
A equação do círculo é
e a diretriz da parábola
é tangente a esse círculo.