Determine os focos, vértices e as diretrizes das parábolas a seguir. Faça um esboço. 2 x^2=7 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os focos, vértices e as diretrizes da parábola dada pela equação . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente estuda as propriedades das curvas como as parábolas. Para isso, vamos precisar reescrever a equação no formato padrão da parábola e depois identificar seus elementos principais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação x^2 = 4py no formato padrão da parábola. O formato padrão para uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
x^2 = 72y
Onde é a distância do vértice até o foco e até a diretriz.
Para chegar nesse formato, vamos dividir ambos os lados da equação por 2:
Agora, nossa equação está parecida com o formato padrão .

Passo 3

Agora, vamos identificar o valor de 4p = 72 . Comparando p = 72 div 4 = 78 com , vemos que:
Para encontrar , vamos dividir ambos os lados por 4:
Então, .

Passo 4

Com o valor de (0, p) = (0, 78) conhecido, podemos determinar os elementos da parábola:
  • Vértice: Para a equação y = -p = -78 , o vértice está na origem .
  • Foco: O foco está a uma distância acima do vértice (já que a parábola abre para cima). Então, as coordenadas do foco serão:
  • Diretriz: A diretriz é uma reta horizontal a uma distância abaixo do vértice. A equação da diretriz será:

Passo 5

Agora, para fazer o esboço da parábola :
  1. Plote o vértice na origem .
  2. Marque o foco em .
  3. Desenhe a diretriz na linha .
  4. Desenhe a parábola abrindo para cima, passando pelo vértice e simétrica em relação ao eixo y.

Resposta

A parábola tem:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
E o esboço da parábola é uma curva que abre para cima, com o vértice na origem, o foco acima e a diretriz abaixo do vértice.

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