Determine os focos, vértices e as diretrizes das parábolas a seguir. Faça um esboço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os focos, vértices e as diretrizes da parábola dada pela equação . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde a gente estuda as propriedades das curvas como as parábolas. Para isso, vamos precisar reescrever a equação no formato padrão da parábola e depois identificar seus elementos principais.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão da parábola. O formato padrão para uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
Onde é a distância do vértice até o foco e até a diretriz.
Para chegar nesse formato, vamos dividir ambos os lados da equação por 2:
Agora, nossa equação está parecida com o formato padrão .
Passo 3
Agora, vamos identificar o valor de . Comparando com , vemos que:
Para encontrar , vamos dividir ambos os lados por 4:
Então, .
Passo 4
Com o valor de conhecido, podemos determinar os elementos da parábola:
Vértice: Para a equação , o vértice está na origem .
Foco: O foco está a uma distância acima do vértice (já que a parábola abre para cima). Então, as coordenadas do foco serão:
Diretriz: A diretriz é uma reta horizontal a uma distância abaixo do vértice. A equação da diretriz será:
Passo 5
Agora, para fazer o esboço da parábola :
Plote o vértice na origem .
Marque o foco em .
Desenhe a diretriz na linha .
Desenhe a parábola abrindo para cima, passando pelo vértice e simétrica em relação ao eixo y.
Resposta
A parábola tem:
Vértice:
Foco:
Diretriz:
E o esboço da parábola é uma curva que abre para cima, com o vértice na origem, o foco acima e a diretriz abaixo do vértice.