Determine os círculos tangentes às retas
e
, com centro sobre a reta
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os círculos que são tangentes às retas $ r_{1}: 4x + 3y = 1 $ e $ r_{2}: 3x - 4y = 2 $, e cujo centro está sobre a reta $ r: 2x + y = 2 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de geometria analítica, como a distância de um ponto a uma reta e as condições de tangência entre uma reta e um círculo. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a condição para uma reta ser tangente a um círculo é que a distância entre o centro do círculo e a reta seja igual ao raio do círculo.
Então, se chamarmos o centro do círculo de $ (h, k) $ e o raio de $ r $, temos que a distância desse ponto às retas $ r_1 $ e $ r_2 $ deve ser igual a $ r $.
Passo 3
Vamos usar a fórmula da distância de um ponto $ (h, k) $ a uma reta $ Ax + By + C = 0 $, que é:
Aplicando isso às retas $ r_1 $ e $ r_2 $:
Para $ r_1: 4x + 3y - 1 = 0 $:
Para $ r_2: 3x - 4y - 2 = 0 $:
Passo 4
Como o centro $ (h, k) $ está na reta $ r: 2x + y = 2 $, podemos expressar $ k $ em função de $ h $:
Vamos substituir $ k $ nas equações das distâncias $ d_1 $ e $ d_2 $:
Passo 5
Vamos simplificar as expressões dentro dos módulos:
Para a primeira equação:
Então,
Para a segunda equação:
Então,
Passo 6
Agora temos duas equações envolvendo $ h $ e $ r $:
Como ambas são iguais a $ 5r $, podemos igualar as expressões dentro dos módulos:
Passo 7
Resolvendo a equação $ | -2h + 5 | = |11h - 10| $, temos dois casos:
- $ -2h + 5 = 11h - 10 $
- $ -2h + 5 = -(11h - 10) $
Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1:
Caso 2:
Passo 8
Agora que temos os valores de $ h $, vamos encontrar $ k $ usando $ k = 2 - 2h $:
Para $ h = \frac{15}{13} $:
Para $ h = \frac{5}{9} $:
Passo 9
Agora, vamos calcular o raio $ r $ usando uma das equações de distância. Vamos usar $ | -2h + 5 | = 5r $:
Para $ h = \frac{15}{13} $:
Para $ h = \frac{5}{9} $:
Resposta
Os círculos tangentes às retas $ r_{1} $ e $ r_{2} $, com centro sobre a reta $ r $, são:
-
Centro em $ \left( \frac{15}{13}, -\frac{4}{13} \right) $ e raio $ \frac{7}{13} $.
-
Centro em $ \left( \frac{5}{9}, \frac{8}{9} \right) $ e raio $ \frac{7}{9} $.