Determine os círculos tangentes às retas r1: 4 x+3 y=1 e r2: 3 x-4 y=2, com centro sobre a reta r : 2 x+y=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os círculos que são tangentes às retas $ r_{1}: 4x + 3y = 1 $ e $ r_{2}: 3x - 4y = 2 $, e cujo centro está sobre a reta $ r: 2x + y = 2 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de geometria analítica, como a distância de um ponto a uma reta e as condições de tangência entre uma reta e um círculo. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a condição para uma reta ser tangente a um círculo é que a distância entre o centro do círculo e a reta seja igual ao raio do círculo.
Então, se chamarmos o centro do círculo de $ (h, k) $ e o raio de $ r $, temos que a distância desse ponto às retas $ r_1 $ e $ r_2 $ deve ser igual a $ r $.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da distância de um ponto $ (h, k) $ a uma reta $ Ax + By + C = 0 $, que é:
(h, k)
Aplicando isso às retas $ r_1 $ e $ r_2 $:
Para $ r_1: 4x + 3y - 1 = 0 $:
Ax + By + C = 0
Para $ r_2: 3x - 4y - 2 = 0 $:
d = |A h + B k + C|raizA^2 + B^2

Passo 4

Como o centro $ (h, k) $ está na reta $ r: 2x + y = 2 $, podemos expressar $ k $ em função de $ h $:
(h, k)
Vamos substituir $ k $ nas equações das distâncias $ d_1 $ e $ d_2 $:
r: 2x + y = 2

Passo 5

Vamos simplificar as expressões dentro dos módulos:
Para a primeira equação:
4h + 6 - 6h - 1 = -2h + 5
Então,
|-2h + 5|5 = r implies | -2h + 5 | = 5r
Para a segunda equação:
3h - 8 + 8h - 2 = 11h - 10
Então,
|11h - 10|5 = r implies |11h - 10| = 5r

Passo 6

Agora temos duas equações envolvendo $ h $ e $ r $:
h
Como ambas são iguais a $ 5r $, podemos igualar as expressões dentro dos módulos:
r

Passo 7

Resolvendo a equação $ | -2h + 5 | = |11h - 10| $, temos dois casos:
  1. $ -2h + 5 = 11h - 10 $
  2. $ -2h + 5 = -(11h - 10) $
Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1:
| -2h + 5 | = |11h - 10|
Caso 2:
-2h + 5 = 11h - 10

Passo 8

Agora que temos os valores de $ h $, vamos encontrar $ k $ usando $ k = 2 - 2h $:
Para $ h = \frac{15}{13} $:
h
Para $ h = \frac{5}{9} $:
k

Passo 9

Agora, vamos calcular o raio $ r $ usando uma das equações de distância. Vamos usar $ | -2h + 5 | = 5r $:
Para $ h = \frac{15}{13} $:
r
Para $ h = \frac{5}{9} $:
| -2h + 5 | = 5r

Resposta

Os círculos tangentes às retas $ r_{1} $ e $ r_{2} $, com centro sobre a reta $ r $, são:
  1. Centro em $ \left( \frac{15}{13}, -\frac{4}{13} \right) $ e raio $ \frac{7}{13} $.
  2. Centro em $ \left( \frac{5}{9}, \frac{8}{9} \right) $ e raio $ \frac{7}{9} $.

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