Determine (se for possível) , de modo que as retas e se intersectem duas a duas, em três pontos que sejam os vértices de um triângulo de área 4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de tais que as retas , e se cruzem em três pontos que formem um triângulo com área igual a 4. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como a interseção de retas e o cálculo da área de um triângulo a partir de três pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas duas a duas. Ou seja, vamos achar onde cada par de retas se cruza.
Interseção de e :
Vamos resolver esse sistema de equações:
Podemos resolver pela substituição ou eliminação. Vamos multiplicar a primeira equação por 3:
Agora, subtraímos a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, o ponto de interseção é .
Passo 3
Interseção de e :
Vamos resolver esse sistema:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Então, o ponto de interseção é .
Passo 4
Interseção de e :
Vamos resolver esse sistema:
Podemos somar as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, o ponto de interseção é .
Passo 5
Agora que temos os três pontos de interseção:
Vamos calcular a área do triângulo formado por esses pontos usando a fórmula da área a partir das coordenadas:
Queremos que essa área seja igual a 4.
Passo 6
Vamos substituir as coordenadas na fórmula:
Simplificando essa expressão vai nos levar a uma equação envolvendo lambda. Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos para eliminar os denominadores e resolver a equação resultante.
Após resolver essa equação, encontraremos os valores de lambda que satisfazem a condição de a área ser igual a 4.
Resposta
Os valores de lambda que fazem com que as retas se intersectem em três pontos formadores de um triângulo de área 4 são lambda = 52 e lambda = -12.