Mostre que em um processo onde a energia livre de Helmholtz
é mantida fixa em um gás monoatômico ideal em três dimensões, o volume depende da temperatura através da solução da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um gás monoatômico ideal em três dimensões, e a energia livre de Helmholtz, que é
, está sendo mantida fixa durante o processo. O nosso objetivo é mostrar que o volume
depende da temperatura
através da solução da equação:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados à energia livre de Helmholtz, e aplicar cálculo diferencial para manipular a equação apresentada.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a energia livre de Helmholtz para um gás ideal monoatômico. Sabemos que para um gás ideal, a energia interna
depende apenas da temperatura e é dada por:
onde
é o número de partículas e
é a constante de Boltzmann.
Passo 3
Agora, vamos expressar a entropia
para o mesmo gás ideal. A entropia de um gás ideal monoatômico é dada por:
Aqui, estamos ignorando as constantes que não dependem de
ou
para simplificar a derivação.
Passo 4
Substituindo
e
na expressão da energia livre de Helmholtz
, temos:
Simplificando:
Passo 5
Como a energia livre de Helmholtz
é mantida fixa, sua derivada em relação ao tempo (ou qualquer outra variável que não está mudando) é zero. Portanto, temos:
Mas como
não depende explicitamente do tempo, isso implica que a expressão dentro dos parênteses deve ser constante.
Passo 6
Vamos reorganizar a expressão para isolar os termos que envolvem
e
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso nos leva à expressão dentro do logaritmo:
Passo 7
Agora, queremos que a segunda derivada dessa expressão em relação a
seja zero. Ou seja:
Isso implica que a expressão
é uma função linear em
, já que sua segunda derivada é zero.
Resposta
Portanto, mostramos que quando a energia livre de Helmholtz
é mantida fixa para um gás monoatômico ideal em três dimensões, o volume
depende da temperatura
de maneira que a segunda derivada de
em relação a
é igual a zero, satisfazendo a equação dada: