Mostre que em um processo onde a energia livre de Helmholtz A= E-T S é mantida fixa em um gás monoatômico ideal em três dimensões, o volume depende da temperatura através da solução da equação d^2d T^2 T log (T^3 / 2 V(T))=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um gás monoatômico ideal em três dimensões, e a energia livre de Helmholtz, que é A = E - T S, está sendo mantida fixa durante o processo. O nosso objetivo é mostrar que o volume V depende da temperatura T através da solução da equação:
d^2d T^2 [ T log (T^3 / 2 V(T)) ] = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente relacionados à energia livre de Helmholtz, e aplicar cálculo diferencial para manipular a equação apresentada.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a energia livre de Helmholtz para um gás ideal monoatômico. Sabemos que para um gás ideal, a energia interna E depende apenas da temperatura e é dada por:
E = 32 N kB T
onde N é o número de partículas e kB é a constante de Boltzmann.

Passo 3

Agora, vamos expressar a entropia S para o mesmo gás ideal. A entropia de um gás ideal monoatômico é dada por:
S = N kB ( 32 log T + log V + constante )
Aqui, estamos ignorando as constantes que não dependem de T ou V para simplificar a derivação.

Passo 4

Substituindo E e S na expressão da energia livre de Helmholtz A = E - T S, temos:
A = 32 N kB T - T [ N kB ( 32 log T + log V ) ]
Simplificando:
A = 32 N kB T - N kB T ( 32 log T + log V )

Passo 5

Como a energia livre de Helmholtz A é mantida fixa, sua derivada em relação ao tempo (ou qualquer outra variável que não está mudando) é zero. Portanto, temos:
dAdT = 0
Mas como A não depende explicitamente do tempo, isso implica que a expressão dentro dos parênteses deve ser constante.

Passo 6

Vamos reorganizar a expressão para isolar os termos que envolvem T e V:
32 log T + log V = constante
Multiplicando ambos os lados por T:
T ( 32 log T + log V ) = constante cdot T
Isso nos leva à expressão dentro do logaritmo:
T log ( T^3/2 V ) = constante cdot T

Passo 7

Agora, queremos que a segunda derivada dessa expressão em relação a T seja zero. Ou seja:
d^2d T^2 [ T log ( T^3/2 V(T) ) ] = 0
Isso implica que a expressão T log ( T^3/2 V(T) ) é uma função linear em T, já que sua segunda derivada é zero.

Resposta

Portanto, mostramos que quando a energia livre de Helmholtz A = E - T S é mantida fixa para um gás monoatômico ideal em três dimensões, o volume V depende da temperatura T de maneira que a segunda derivada de T log (T^3/2 V(T)) em relação a T é igual a zero, satisfazendo a equação dada:
d^2d T^2 [ T log (T^3 / 2 V(T)) ] = 0

Exercícios relacionados