Determine a equação do lugar geométrico descrito por um ponto que se movimenta no plano de maneira que sua distância à reta 4 x-3 y+12=0 é sempre igual a duas vezes sua distância ao eixo O X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de um lugar geométrico no plano. Especificamente, é o caminho que um ponto segue, onde a distância dele à reta 4x - 3y + 12 = 0 é sempre igual a duas vezes a distância dele ao eixo OX. Vamos usar geometria analítica para resolver isso, aplicando fórmulas de distância entre pontos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto (x, y) até uma reta da forma Ax + By + C = 0. A fórmula é:
d = |Ax + By + C|raizA^2 + B^2
No nosso caso, a reta é 4x - 3y + 12 = 0. Então, A = 4, B = -3 e C = 12.

Passo 3

Agora, vamos considerar a distância do ponto ao eixo OX. O eixo OX é a reta onde y = 0. A distância de um ponto (x, y) até o eixo OX é simplesmente |y|, já que é a diferença vertical.

Passo 4

De acordo com o enunciado, a distância do ponto à reta 4x - 3y + 12 = 0 é igual a duas vezes a distância ao eixo OX. Então, podemos escrever a equação:
|4x - 3y + 12|raiz4^2 + (-3)^2 = 2|y|
Vamos simplificar isso.

Passo 5

Primeiro, calculemos o denominador:
raiz4^2 + (-3)^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5
Então, nossa equação fica:
|4x - 3y + 12|5 = 2|y|
Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar o denominador:
|4x - 3y + 12| = 10|y|

Passo 6

Agora, vamos remover os valores absolutos. Lembrando que |A| = |B| implica que A = B ou A = -B. Então, temos duas possibilidades:
  1. 4x - 3y + 12 = 10y
  2. 4x - 3y + 12 = -10y
Vamos resolver cada uma delas.

Passo 7

Primeira possibilidade:
4x - 3y + 12 = 10y
Isolando y:
4x + 12 = 10y + 3y 4x + 12 = 13y y = 4x + 1213
Segunda possibilidade:
4x - 3y + 12 = -10y
Isolando y:
4x + 12 = -10y + 3y 4x + 12 = -7y y = -4x + 127

Passo 8

Agora temos duas equações lineares:
  1. y = 4x + 1213
  2. y = -4x + 127
Essas duas retas representam o lugar geométrico procurado. Ou seja, o ponto que se desloca no plano satisfaz uma dessas duas equações, mantendo sempre a relação de distância especificada.

Resposta

As equações do lugar geométrico são:
y = 4x + 1213 e y = -4x + 127

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