Determine a equação do lugar geométrico descrito por um ponto que se movimenta no plano de maneira que sua distância à reta
é sempre igual a duas vezes sua distância ao eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de um lugar geométrico no plano. Especificamente, é o caminho que um ponto segue, onde a distância dele à reta
é sempre igual a duas vezes a distância dele ao eixo
. Vamos usar geometria analítica para resolver isso, aplicando fórmulas de distância entre pontos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto
até uma reta da forma
. A fórmula é:
No nosso caso, a reta é
. Então,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a distância do ponto ao eixo
. O eixo
é a reta onde
. A distância de um ponto
até o eixo
é simplesmente
, já que é a diferença vertical.
Passo 4
De acordo com o enunciado, a distância do ponto à reta
é igual a duas vezes a distância ao eixo
. Então, podemos escrever a equação:
Vamos simplificar isso.
Passo 5
Primeiro, calculemos o denominador:
Então, nossa equação fica:
Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar o denominador:
Passo 6
Agora, vamos remover os valores absolutos. Lembrando que
implica que
ou
. Então, temos duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma delas.
Passo 7
Primeira possibilidade:
Isolando
:
Segunda possibilidade:
Isolando
:
Passo 8
Agora temos duas equações lineares:
Essas duas retas representam o lugar geométrico procurado. Ou seja, o ponto que se desloca no plano satisfaz uma dessas duas equações, mantendo sempre a relação de distância especificada.
Resposta
As equações do lugar geométrico são: